Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74012 / 90380
↖ ↑ ↗
← S 56.188368°
E 23.280029°		 ← 169.96 m → S 56.188368°
E 23.282776°		 →
↑
169.98 m
↓
↑
169.98 m
↓
S 56.189896°
E 23.280029°		 ← 169.95 m →
28 889 m²		 S 56.189896°
E 23.282776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564670562744141 y=0.689548492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564670562744141 × 217)
    floor (0.564670562744141 × 131072)
    floor (74012.5)     		tx = 74012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689548492431641 × 217)
    floor (0.689548492431641 × 131072)
    floor (90380.5)     		ty = 90380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74012 / 90380 ti = "17/74012/90380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74012/90380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74012 ÷ 217
    74012 ÷ 131072     		x = 0.564666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90380 ÷ 217
    90380 ÷ 131072     		y = 0.689544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40631316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.37908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19094433416068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40631316} λ = 0.40631316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19094433416068))-π/2
    2×atan(0.303934113139196)-π/2
    2×0.29506215312606-π/2
    0.590124306252121-1.57079632675     		φ = -0.98067202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40631316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98067202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.188368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74012 KachelY 90380 0.40631316 -0.98067202 23.280029 -56.188368
    Oben rechts KachelX + 1 74013 KachelY 90380 0.40636110 -0.98067202 23.282776 -56.188368
    Unten links KachelX 74012 KachelY + 1 90381 0.40631316 -0.98069870 23.280029 -56.189896
    Unten rechts KachelX + 1 74013 KachelY + 1 90381 0.40636110 -0.98069870 23.282776 -56.189896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98067202--0.98069870) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dl = 169.978280000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98067202--0.98069870) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dr = 169.978280000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40631316-0.40636110) × cos(-0.98067202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.556464310186591 × 6371000     		do = 169.958523722218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40631316-0.40636110) × cos(-0.98069870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.556442142336569 × 6371000     		du = 169.95175309022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98067202)-sin(-0.98069870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556464310186591-0.556442142336569)×R²
    abs(0.40636110-0.40631316)×2.21678500221811e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21678500221811e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21678500221811e-05×40589641000000     		ar = 28888.6821052573m²