Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74010 / 90392
↖ ↑ ↗
← S 56.206704°
E 23.274536°		 ← 169.84 m → S 56.206704°
E 23.277282°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
S 56.208232°
E 23.274536°		 ← 169.84 m →
28 847 m²		 S 56.208232°
E 23.277282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564655303955078 y=0.689640045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564655303955078 × 217)
    floor (0.564655303955078 × 131072)
    floor (74010.5)     		tx = 74010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689640045166016 × 217)
    floor (0.689640045166016 × 131072)
    floor (90392.5)     		ty = 90392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74010 / 90392 ti = "17/74010/90392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74010/90392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74010 ÷ 217
    74010 ÷ 131072     		x = 0.564651489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90392 ÷ 217
    90392 ÷ 131072     		y = 0.68963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564651489257812 × 2 - 1) × π
    0.129302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40621729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.3792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19151957695612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40621729} λ = 0.40621729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19151957695612))-π/2
    2×atan(0.303759327507232)-π/2
    2×0.294902140328578-π/2
    0.589804280657155-1.57079632675     		φ = -0.98099205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40621729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98099205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.206704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74010 KachelY 90392 0.40621729 -0.98099205 23.274536 -56.206704
    Oben rechts KachelX + 1 74011 KachelY 90392 0.40626522 -0.98099205 23.277282 -56.206704
    Unten links KachelX 74010 KachelY + 1 90393 0.40621729 -0.98101871 23.274536 -56.208232
    Unten rechts KachelX + 1 74011 KachelY + 1 90393 0.40626522 -0.98101871 23.277282 -56.208232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98099205--0.98101871) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dl = 169.850859999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98099205--0.98101871) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dr = 169.850859999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40621729-0.40626522) × cos(-0.98099205) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.556198377884438 × 6371000     		do = 169.841865753406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40621729-0.40626522) × cos(-0.98101871) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.556176221905618 × 6371000     		du = 169.835100158737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98099205)-sin(-0.98101871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556198377884438-0.556176221905618)×R²
    abs(0.40626522-0.40621729)×2.21559788193826e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21559788193826e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21559788193826e-05×40589641000000     		ar = 28847.212392753m²