Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74010 / 55079
↖ ↑ ↗
← N 27.588632°
E 23.274536°		 ← 270.64 m → N 27.588632°
E 23.277282°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
N 27.586198°
E 23.274536°		 ← 270.65 m →
73 264 m²		 N 27.586198°
E 23.277282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564655303955078 y=0.420223236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564655303955078 × 217)
    floor (0.564655303955078 × 131072)
    floor (74010.5)     		tx = 74010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420223236083984 × 217)
    floor (0.420223236083984 × 131072)
    floor (55079.5)     		ty = 55079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74010 / 55079 ti = "17/74010/55079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74010/55079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74010 ÷ 217
    74010 ÷ 131072     		x = 0.564651489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55079 ÷ 217
    55079 ÷ 131072     		y = 0.420219421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564651489257812 × 2 - 1) × π
    0.129302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40621729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420219421386719 × 2 - 1) × π
    0.159561157226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.501276159326927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40621729} λ = 0.40621729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501276159326927))-π/2
    2×atan(1.65082664483793)-π/2
    2×1.02615439711736-π/2
    2.05230879423472-1.57079632675     		φ = 0.48151247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40621729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48151247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.588632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74010 KachelY 55079 0.40621729 0.48151247 23.274536 27.588632
    Oben rechts KachelX + 1 74011 KachelY 55079 0.40626522 0.48151247 23.277282 27.588632
    Unten links KachelX 74010 KachelY + 1 55080 0.40621729 0.48146998 23.274536 27.586198
    Unten rechts KachelX + 1 74011 KachelY + 1 55080 0.40626522 0.48146998 23.277282 27.586198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48151247-0.48146998) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48151247-0.48146998) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40621729-0.40626522) × cos(0.48151247) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886295481366637 × 6371000     		do = 270.640987369796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40621729-0.40626522) × cos(0.48146998) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886315158543873 × 6371000     		du = 270.646996032581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48151247)-sin(0.48146998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886295481366637-0.886315158543873)×R²
    abs(0.40626522-0.40621729)×1.96771772358328e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96771772358328e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96771772358328e-05×40589641000000     		ar = 73264.3543052084m²