Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7401 / 4437
↖ ↑ ↗
← N 63.342272°
W 17.380371°		 ← 1 096.17 m → N 63.342272°
W 17.358399°		 →
↑
1 096.32 m
↓
↑
1 096.32 m
↓
N 63.332413°
W 17.380371°		 ← 1 096.55 m →
1 201 963 m²		 N 63.332413°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451751708984375 y=0.270843505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451751708984375 × 214)
    floor (0.451751708984375 × 16384)
    floor (7401.5)     		tx = 7401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270843505859375 × 214)
    floor (0.270843505859375 × 16384)
    floor (4437.5)     		ty = 4437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7401 / 4437 ti = "14/7401/4437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7401/4437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7401 ÷ 214
    7401 ÷ 16384     		x = 0.45172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4437 ÷ 214
    4437 ÷ 16384     		y = 0.27081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0965576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30334470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27081298828125 × 2 - 1) × π
    0.4583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30334470} λ = -0.30334470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44002446458649))-π/2
    2×atan(4.22079907583749)-π/2
    2×1.33816377078698-π/2
    2.67632754157395-1.57079632675     		φ = 1.10553121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30334470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.380371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10553121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.342272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7401 KachelY 4437 -0.30334470 1.10553121 -17.380371 63.342272
    Oben rechts KachelX + 1 7402 KachelY 4437 -0.30296121 1.10553121 -17.358399 63.342272
    Unten links KachelX 7401 KachelY + 1 4438 -0.30334470 1.10535913 -17.380371 63.332413
    Unten rechts KachelX + 1 7402 KachelY + 1 4438 -0.30296121 1.10535913 -17.358399 63.332413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10553121-1.10535913) × R
    0.000172080000000019 × 6371000     		dl = 1096.32168000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10553121-1.10535913) × R
    0.000172080000000019 × 6371000     		dr = 1096.32168000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30334470--0.30296121) × cos(1.10553121) × R
    0.000383490000000042 × 0.448659752792414 × 6371000     		do = 1096.17214370029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30334470--0.30296121) × cos(1.10535913) × R
    0.000383490000000042 × 0.448813534500879 × 6371000     		du = 1096.54786544484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10553121)-sin(1.10535913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448659752792414-0.448813534500879)×R²
    abs(-0.30296121--0.30334470)×0.000153781708465139×R²
    0.000383490000000042×0.000153781708465139×6371000²
    0.000383490000000042×0.000153781708465139×40589641000000     		ar = 1201963.24506438m²