Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74009 / 54968
↖ ↑ ↗
← N 27.858504°
E 23.271790°		 ← 270.03 m → N 27.858504°
E 23.274536°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.856076°
E 23.271790°		 ← 270.03 m →
72 909 m²		 N 27.856076°
E 23.274536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564647674560547 y=0.419376373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564647674560547 × 217)
    floor (0.564647674560547 × 131072)
    floor (74009.5)     		tx = 74009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419376373291016 × 217)
    floor (0.419376373291016 × 131072)
    floor (54968.5)     		ty = 54968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74009 / 54968 ti = "17/74009/54968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74009/54968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74009 ÷ 217
    74009 ÷ 131072     		x = 0.564643859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54968 ÷ 217
    54968 ÷ 131072     		y = 0.41937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564643859863281 × 2 - 1) × π
    0.129287719726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40616935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41937255859375 × 2 - 1) × π
    0.1612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506597155184753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40616935} λ = 0.40616935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506597155184753))-π/2
    2×atan(1.65963409800757)-π/2
    2×1.02850947273697-π/2
    2.05701894547394-1.57079632675     		φ = 0.48622262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40616935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.271790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48622262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.858504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74009 KachelY 54968 0.40616935 0.48622262 23.271790 27.858504
    Oben rechts KachelX + 1 74010 KachelY 54968 0.40621729 0.48622262 23.274536 27.858504
    Unten links KachelX 74009 KachelY + 1 54969 0.40616935 0.48618024 23.271790 27.856076
    Unten rechts KachelX + 1 74010 KachelY + 1 54969 0.40621729 0.48618024 23.274536 27.856076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48622262-0.48618024) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48622262-0.48618024) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40616935-0.40621729) × cos(0.48622262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884104292380278 × 6371000     		do = 270.028207737558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40616935-0.40621729) × cos(0.48618024) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884124095320923 × 6371000     		du = 270.034256065359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48622262)-sin(0.48618024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884104292380278-0.884124095320923)×R²
    abs(0.40621729-0.40616935)×1.9802940645075e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9802940645075e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9802940645075e-05×40589641000000     		ar = 72909.2373174351m²