Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74007 / 90394
↖ ↑ ↗
← S 56.209759°
E 23.266297°		 ← 169.83 m → S 56.209759°
E 23.269043°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
S 56.211287°
E 23.266297°		 ← 169.82 m →
28 845 m²		 S 56.211287°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564632415771484 y=0.689655303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564632415771484 × 217)
    floor (0.564632415771484 × 131072)
    floor (74007.5)     		tx = 74007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689655303955078 × 217)
    floor (0.689655303955078 × 131072)
    floor (90394.5)     		ty = 90394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74007 / 90394 ti = "17/74007/90394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74007/90394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74007 ÷ 217
    74007 ÷ 131072     		x = 0.564628601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90394 ÷ 217
    90394 ÷ 131072     		y = 0.689651489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564628601074219 × 2 - 1) × π
    0.129257202148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40607348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689651489257812 × 2 - 1) × π
    -0.379302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19161545075536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40607348} λ = 0.40607348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19161545075536))-π/2
    2×atan(0.30373020634245)-π/2
    2×0.294875478964775-π/2
    0.58975095792955-1.57079632675     		φ = -0.98104537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40607348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.266297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98104537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.209759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74007 KachelY 90394 0.40607348 -0.98104537 23.266297 -56.209759
    Oben rechts KachelX + 1 74008 KachelY 90394 0.40612141 -0.98104537 23.269043 -56.209759
    Unten links KachelX 74007 KachelY + 1 90395 0.40607348 -0.98107203 23.266297 -56.211287
    Unten rechts KachelX + 1 74008 KachelY + 1 90395 0.40612141 -0.98107203 23.269043 -56.211287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98104537--0.98107203) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dl = 169.850859999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98104537--0.98107203) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dr = 169.850859999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40607348-0.40612141) × cos(-0.98104537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.556154065531493 × 6371000     		do = 169.828334443554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40607348-0.40612141) × cos(-0.98107203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.556131908762079 × 6371000     		du = 169.821568607467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98104537)-sin(-0.98107203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556154065531493-0.556131908762079)×R²
    abs(0.40612141-0.40607348)×2.21567694144165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21567694144165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21567694144165e-05×40589641000000     		ar = 28844.9140676034m²