Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74006 / 90400
↖ ↑ ↗
← S 56.218923°
E 23.263550°		 ← 169.82 m → S 56.218923°
E 23.266297°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
S 56.220450°
E 23.263550°		 ← 169.82 m →
28 833 m²		 S 56.220450°
E 23.266297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564624786376953 y=0.689701080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564624786376953 × 217)
    floor (0.564624786376953 × 131072)
    floor (74006.5)     		tx = 74006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689701080322266 × 217)
    floor (0.689701080322266 × 131072)
    floor (90400.5)     		ty = 90400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74006 / 90400 ti = "17/74006/90400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74006/90400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74006 ÷ 217
    74006 ÷ 131072     		x = 0.564620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90400 ÷ 217
    90400 ÷ 131072     		y = 0.689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564620971679688 × 2 - 1) × π
    0.129241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40602554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.37939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19190307215308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40602554} λ = 0.40602554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19190307215308))-π/2
    2×atan(0.30364285959797)-π/2
    2×0.294795507618545-π/2
    0.58959101523709-1.57079632675     		φ = -0.98120531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40602554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.263550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98120531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74006 KachelY 90400 0.40602554 -0.98120531 23.263550 -56.218923
    Oben rechts KachelX + 1 74007 KachelY 90400 0.40607348 -0.98120531 23.266297 -56.218923
    Unten links KachelX 74006 KachelY + 1 90401 0.40602554 -0.98123196 23.263550 -56.220450
    Unten rechts KachelX + 1 74007 KachelY + 1 90401 0.40607348 -0.98123196 23.266297 -56.220450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98120531--0.98123196) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98120531--0.98123196) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40602554-0.40607348) × cos(-0.98120531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.556021135609577 × 6371000     		do = 169.823166799084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40602554-0.40607348) × cos(-0.98123196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555998984780882 × 6371000     		du = 169.816401365838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98120531)-sin(-0.98123196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556021135609577-0.555998984780882)×R²
    abs(0.40607348-0.40602554)×2.21508286952776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21508286952776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21508286952776e-05×40589641000000     		ar = 28833.2171546668m²