Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74006 / 55525
↖ ↑ ↗
← N 26.497615°
E 23.263550°		 ← 273.34 m → N 26.497615°
E 23.266297°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.495157°
E 23.263550°		 ← 273.35 m →
74 709 m²		 N 26.495157°
E 23.266297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564624786376953 y=0.423625946044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564624786376953 × 217)
    floor (0.564624786376953 × 131072)
    floor (74006.5)     		tx = 74006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423625946044922 × 217)
    floor (0.423625946044922 × 131072)
    floor (55525.5)     		ty = 55525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74006 / 55525 ti = "17/74006/55525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74006/55525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74006 ÷ 217
    74006 ÷ 131072     		x = 0.564620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55525 ÷ 217
    55525 ÷ 131072     		y = 0.423622131347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564620971679688 × 2 - 1) × π
    0.129241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40602554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423622131347656 × 2 - 1) × π
    0.152755737304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.479896302096382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40602554} λ = 0.40602554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479896302096382))-π/2
    2×atan(1.61590682735403)-π/2
    2×1.01663347518535-π/2
    2.0332669503707-1.57079632675     		φ = 0.46247062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40602554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.263550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46247062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.497615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74006 KachelY 55525 0.40602554 0.46247062 23.263550 26.497615
    Oben rechts KachelX + 1 74007 KachelY 55525 0.40607348 0.46247062 23.266297 26.497615
    Unten links KachelX 74006 KachelY + 1 55526 0.40602554 0.46242772 23.263550 26.495157
    Unten rechts KachelX + 1 74007 KachelY + 1 55526 0.40607348 0.46242772 23.266297 26.495157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46247062-0.46242772) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46247062-0.46242772) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40602554-0.40607348) × cos(0.46247062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894952936834989 × 6371000     		do = 273.34166299782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40602554-0.40607348) × cos(0.46242772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894972076299253 × 6371000     		du = 273.347508682856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46247062)-sin(0.46242772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894952936834989-0.894972076299253)×R²
    abs(0.40607348-0.40602554)×1.91394642640175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91394642640175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91394642640175e-05×40589641000000     		ar = 74709.421500594m²