Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74005 / 60763
↖ ↑ ↗
← N 12.996529°
E 23.260803°		 ← 297.60 m → N 12.996529°
E 23.263550°		 →
↑
297.59 m
↓
↑
297.59 m
↓
N 12.993853°
E 23.260803°		 ← 297.61 m →
88 564 m²		 N 12.993853°
E 23.263550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564617156982422 y=0.463588714599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564617156982422 × 217)
    floor (0.564617156982422 × 131072)
    floor (74005.5)     		tx = 74005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463588714599609 × 217)
    floor (0.463588714599609 × 131072)
    floor (60763.5)     		ty = 60763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74005 / 60763 ti = "17/74005/60763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74005/60763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74005 ÷ 217
    74005 ÷ 131072     		x = 0.564613342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60763 ÷ 217
    60763 ÷ 131072     		y = 0.463584899902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564613342285156 × 2 - 1) × π
    0.129226684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40597760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463584899902344 × 2 - 1) × π
    0.0728302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.228802821886528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40597760} λ = 0.40597760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228802821886528))-π/2
    2×atan(1.25709414311922)-π/2
    2×0.898814276338727-π/2
    1.79762855267745-1.57079632675     		φ = 0.22683223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40597760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.260803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22683223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.996529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74005 KachelY 60763 0.40597760 0.22683223 23.260803 12.996529
    Oben rechts KachelX + 1 74006 KachelY 60763 0.40602554 0.22683223 23.263550 12.996529
    Unten links KachelX 74005 KachelY + 1 60764 0.40597760 0.22678552 23.260803 12.993853
    Unten rechts KachelX + 1 74006 KachelY + 1 60764 0.40602554 0.22678552 23.263550 12.993853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22683223-0.22678552) × R
    4.67100000000054e-05 × 6371000     		dl = 297.589410000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22683223-0.22678552) × R
    4.67100000000054e-05 × 6371000     		dr = 297.589410000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40597760-0.40602554) × cos(0.22683223) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974383688903777 × 6371000     		do = 297.601859227515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40597760-0.40602554) × cos(0.22678552) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974394192547698 × 6371000     		du = 297.605067310733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22683223)-sin(0.22678552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974383688903777-0.974394192547698)×R²
    abs(0.40602554-0.40597760)×1.05036439209671e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.05036439209671e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.05036439209671e-05×40589641000000     		ar = 88563.6390643367m²