Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74005 / 56562
↖ ↑ ↗
← N 23.920992°
E 23.260803°		 ← 279.19 m → N 23.920992°
E 23.263550°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
N 23.918481°
E 23.260803°		 ← 279.20 m →
77 945 m²		 N 23.918481°
E 23.263550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564617156982422 y=0.431537628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564617156982422 × 217)
    floor (0.564617156982422 × 131072)
    floor (74005.5)     		tx = 74005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431537628173828 × 217)
    floor (0.431537628173828 × 131072)
    floor (56562.5)     		ty = 56562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74005 / 56562 ti = "17/74005/56562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74005/56562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74005 ÷ 217
    74005 ÷ 131072     		x = 0.564613342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56562 ÷ 217
    56562 ÷ 131072     		y = 0.431533813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564613342285156 × 2 - 1) × π
    0.129226684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40597760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431533813476562 × 2 - 1) × π
    0.136932373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.430185737190384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40597760} λ = 0.40597760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430185737190384))-π/2
    2×atan(1.53754307595963)-π/2
    2×0.994148197012585-π/2
    1.98829639402517-1.57079632675     		φ = 0.41750007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40597760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.260803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41750007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.920992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74005 KachelY 56562 0.40597760 0.41750007 23.260803 23.920992
    Oben rechts KachelX + 1 74006 KachelY 56562 0.40602554 0.41750007 23.263550 23.920992
    Unten links KachelX 74005 KachelY + 1 56563 0.40597760 0.41745625 23.260803 23.918481
    Unten rechts KachelX + 1 74006 KachelY + 1 56563 0.40602554 0.41745625 23.263550 23.918481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41750007-0.41745625) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dl = 279.177220000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41750007-0.41745625) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dr = 279.177220000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40597760-0.40602554) × cos(0.41750007) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914105458598275 × 6371000     		do = 279.191336130558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40597760-0.40602554) × cos(0.41745625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91412322570187 × 6371000     		du = 279.196762661321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41750007)-sin(0.41745625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914105458598275-0.91412322570187)×R²
    abs(0.40602554-0.40597760)×1.77671035952454e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77671035952454e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77671035952454e-05×40589641000000     		ar = 77944.6185634114m²