Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74004 / 90406
↖ ↑ ↗
← S 56.228085°
E 23.258057°		 ← 169.75 m → S 56.228085°
E 23.260803°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
S 56.229612°
E 23.258057°		 ← 169.74 m →
28 809 m²		 S 56.229612°
E 23.260803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564609527587891 y=0.689746856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564609527587891 × 217)
    floor (0.564609527587891 × 131072)
    floor (74004.5)     		tx = 74004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689746856689453 × 217)
    floor (0.689746856689453 × 131072)
    floor (90406.5)     		ty = 90406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74004 / 90406 ti = "17/74004/90406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74004/90406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74004 ÷ 217
    74004 ÷ 131072     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90406 ÷ 217
    90406 ÷ 131072     		y = 0.689743041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689743041992188 × 2 - 1) × π
    -0.379486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1921906935508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1921906935508))-π/2
    2×atan(0.303555537972671)-π/2
    2×0.29471555538812-π/2
    0.589431110776239-1.57079632675     		φ = -0.98136522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98136522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.228085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74004 KachelY 90406 0.40592967 -0.98136522 23.258057 -56.228085
    Oben rechts KachelX + 1 74005 KachelY 90406 0.40597760 -0.98136522 23.260803 -56.228085
    Unten links KachelX 74004 KachelY + 1 90407 0.40592967 -0.98139186 23.258057 -56.229612
    Unten rechts KachelX + 1 74005 KachelY + 1 90407 0.40597760 -0.98139186 23.260803 -56.229612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98136522--0.98139186) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98136522--0.98139186) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40597760) × cos(-0.98136522) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		do = 169.747154213472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40597760) × cos(-0.98139186) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.555866071516718 × 6371000     		du = 169.740392006378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98136522)-sin(-0.98139186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555888216401905-0.555866071516718)×R²
    abs(0.40597760-0.40592967)×2.21448851867034e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21448851867034e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21448851867034e-05×40589641000000     		ar = 28809.4970923737m²