Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74004 / 90388
↖ ↑ ↗
← S 56.200593°
E 23.258057°		 ← 169.87 m → S 56.200593°
E 23.260803°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
S 56.202121°
E 23.258057°		 ← 169.86 m →
28 852 m²		 S 56.202121°
E 23.260803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564609527587891 y=0.689609527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564609527587891 × 217)
    floor (0.564609527587891 × 131072)
    floor (74004.5)     		tx = 74004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689609527587891 × 217)
    floor (0.689609527587891 × 131072)
    floor (90388.5)     		ty = 90388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74004 / 90388 ti = "17/74004/90388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74004/90388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74004 ÷ 217
    74004 ÷ 131072     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90388 ÷ 217
    90388 ÷ 131072     		y = 0.689605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.37921142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19132782935764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19132782935764))-π/2
    2×atan(0.303817578213336)-π/2
    2×0.294955469429333-π/2
    0.589910938858667-1.57079632675     		φ = -0.98088539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98088539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.200593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74004 KachelY 90388 0.40592967 -0.98088539 23.258057 -56.200593
    Oben rechts KachelX + 1 74005 KachelY 90388 0.40597760 -0.98088539 23.260803 -56.200593
    Unten links KachelX 74004 KachelY + 1 90389 0.40592967 -0.98091205 23.258057 -56.202121
    Unten rechts KachelX + 1 74005 KachelY + 1 90389 0.40597760 -0.98091205 23.260803 -56.202121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98088539--0.98091205) × R
    2.66600000000672e-05 × 6371000     		dl = 169.850860000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98088539--0.98091205) × R
    2.66600000000672e-05 × 6371000     		dr = 169.850860000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40597760) × cos(-0.98088539) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.556287014466152 × 6371000     		do = 169.868931999931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40597760) × cos(-0.98091205) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.556264860069008 × 6371000     		du = 169.862166888245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98088539)-sin(-0.98091205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556287014466152-0.556264860069008)×R²
    abs(0.40597760-0.40592967)×2.21543971439253e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21543971439253e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21543971439253e-05×40589641000000     		ar = 28851.8096591212m²