Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74004 / 55439
↖ ↑ ↗
← N 26.708813°
E 23.258057°		 ← 272.78 m → N 26.708813°
E 23.260803°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.706360°
E 23.258057°		 ← 272.79 m →
74 417 m²		 N 26.706360°
E 23.260803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564609527587891 y=0.422969818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564609527587891 × 217)
    floor (0.564609527587891 × 131072)
    floor (74004.5)     		tx = 74004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422969818115234 × 217)
    floor (0.422969818115234 × 131072)
    floor (55439.5)     		ty = 55439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74004 / 55439 ti = "17/74004/55439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74004/55439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74004 ÷ 217
    74004 ÷ 131072     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55439 ÷ 217
    55439 ÷ 131072     		y = 0.422966003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422966003417969 × 2 - 1) × π
    0.154067993164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.484018875463707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484018875463707))-π/2
    2×atan(1.62258227235601)-π/2
    2×1.01847653006143-π/2
    2.03695306012286-1.57079632675     		φ = 0.46615673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46615673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.708813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74004 KachelY 55439 0.40592967 0.46615673 23.258057 26.708813
    Oben rechts KachelX + 1 74005 KachelY 55439 0.40597760 0.46615673 23.260803 26.708813
    Unten links KachelX 74004 KachelY + 1 55440 0.40592967 0.46611391 23.258057 26.706360
    Unten rechts KachelX + 1 74005 KachelY + 1 55440 0.40597760 0.46611391 23.260803 26.706360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46615673-0.46611391) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46615673-0.46611391) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40597760) × cos(0.46615673) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89330226363786 × 6371000     		do = 272.780592627903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40597760) × cos(0.46611391) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893321508542434 × 6371000     		du = 272.786469291031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46615673)-sin(0.46611391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89330226363786-0.893321508542434)×R²
    abs(0.40597760-0.40592967)×1.9244904573501e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9244904573501e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9244904573501e-05×40589641000000     		ar = 74417.0439706901m²