Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74003 / 90409
↖ ↑ ↗
← S 56.232665°
E 23.255310°		 ← 169.76 m → S 56.232665°
E 23.258057°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
S 56.234192°
E 23.255310°		 ← 169.76 m →
28 823 m²		 S 56.234192°
E 23.258057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564601898193359 y=0.689769744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564601898193359 × 217)
    floor (0.564601898193359 × 131072)
    floor (74003.5)     		tx = 74003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689769744873047 × 217)
    floor (0.689769744873047 × 131072)
    floor (90409.5)     		ty = 90409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74003 / 90409 ti = "17/74003/90409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74003/90409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74003 ÷ 217
    74003 ÷ 131072     		x = 0.564598083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90409 ÷ 217
    90409 ÷ 131072     		y = 0.689765930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564598083496094 × 2 - 1) × π
    0.129196166992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40588173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689765930175781 × 2 - 1) × π
    -0.379531860351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.19233450424966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40588173} λ = 0.40588173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19233450424966))-π/2
    2×atan(0.303511886577456)-π/2
    2×0.294675586440544-π/2
    0.589351172881089-1.57079632675     		φ = -0.98144515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40588173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.255310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98144515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.232665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74003 KachelY 90409 0.40588173 -0.98144515 23.255310 -56.232665
    Oben rechts KachelX + 1 74004 KachelY 90409 0.40592967 -0.98144515 23.258057 -56.232665
    Unten links KachelX 74003 KachelY + 1 90410 0.40588173 -0.98147180 23.255310 -56.234192
    Unten rechts KachelX + 1 74004 KachelY + 1 90410 0.40592967 -0.98147180 23.258057 -56.234192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98144515--0.98147180) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98144515--0.98147180) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40588173-0.40592967) × cos(-0.98144515) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555821772249869 × 6371000     		do = 169.762276097613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40588173-0.40592967) × cos(-0.98147180) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555799617867941 × 6371000     		du = 169.755509579118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98144515)-sin(-0.98147180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555821772249869-0.555799617867941)×R²
    abs(0.40592967-0.40588173)×2.21543819276526e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21543819276526e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21543819276526e-05×40589641000000     		ar = 28822.8786039087m²