Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74002 / 61172
↖ ↑ ↗
← N 11.899603°
E 23.252563°		 ← 298.86 m → N 11.899603°
E 23.255310°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
N 11.896916°
E 23.252563°		 ← 298.87 m →
89 319 m²		 N 11.896916°
E 23.255310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564594268798828 y=0.466709136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564594268798828 × 217)
    floor (0.564594268798828 × 131072)
    floor (74002.5)     		tx = 74002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466709136962891 × 217)
    floor (0.466709136962891 × 131072)
    floor (61172.5)     		ty = 61172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74002 / 61172 ti = "17/74002/61172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74002/61172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74002 ÷ 217
    74002 ÷ 131072     		x = 0.564590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61172 ÷ 217
    61172 ÷ 131072     		y = 0.466705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564590454101562 × 2 - 1) × π
    0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466705322265625 × 2 - 1) × π
    0.06658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.209196629941925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40583379} λ = 0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209196629941925))-π/2
    2×atan(1.23268735794552)-π/2
    2×0.889241794051286-π/2
    1.77848358810257-1.57079632675     		φ = 0.20768726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20768726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.899603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74002 KachelY 61172 0.40583379 0.20768726 23.252563 11.899603
    Oben rechts KachelX + 1 74003 KachelY 61172 0.40588173 0.20768726 23.255310 11.899603
    Unten links KachelX 74002 KachelY + 1 61173 0.40583379 0.20764035 23.252563 11.896916
    Unten rechts KachelX + 1 74003 KachelY + 1 61173 0.40588173 0.20764035 23.255310 11.896916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20768726-0.20764035) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dl = 298.863610000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20768726-0.20764035) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dr = 298.863610000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40583379-0.40588173) × cos(0.20768726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978510412214897 × 6371000     		do = 298.862266748244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40583379-0.40588173) × cos(0.20764035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978520083858914 × 6371000     		du = 298.865220717275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20768726)-sin(0.20764035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978510412214897-0.978520083858914)×R²
    abs(0.40588173-0.40583379)×9.67164401732834e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67164401732834e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67164401732834e-06×40589641000000     		ar = 89319.4973665027m²