Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74002 / 56594
↖ ↑ ↗
← N 23.840625°
E 23.252563°		 ← 279.36 m → N 23.840625°
E 23.255310°		 →
↑
279.37 m
↓
↑
279.37 m
↓
N 23.838113°
E 23.252563°		 ← 279.37 m →
78 046 m²		 N 23.838113°
E 23.255310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564594268798828 y=0.431781768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564594268798828 × 217)
    floor (0.564594268798828 × 131072)
    floor (74002.5)     		tx = 74002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431781768798828 × 217)
    floor (0.431781768798828 × 131072)
    floor (56594.5)     		ty = 56594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74002 / 56594 ti = "17/74002/56594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74002/56594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74002 ÷ 217
    74002 ÷ 131072     		x = 0.564590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56594 ÷ 217
    56594 ÷ 131072     		y = 0.431777954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564590454101562 × 2 - 1) × π
    0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431777954101562 × 2 - 1) × π
    0.136444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.428651756402542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40583379} λ = 0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428651756402542))-π/2
    2×atan(1.53518632249004)-π/2
    2×0.993446869047812-π/2
    1.98689373809562-1.57079632675     		φ = 0.41609741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41609741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.840625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74002 KachelY 56594 0.40583379 0.41609741 23.252563 23.840625
    Oben rechts KachelX + 1 74003 KachelY 56594 0.40588173 0.41609741 23.255310 23.840625
    Unten links KachelX 74002 KachelY + 1 56595 0.40583379 0.41605356 23.252563 23.838113
    Unten rechts KachelX + 1 74003 KachelY + 1 56595 0.40588173 0.41605356 23.255310 23.838113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41609741-0.41605356) × R
    4.38500000000119e-05 × 6371000     		dl = 279.368350000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41609741-0.41605356) × R
    4.38500000000119e-05 × 6371000     		dr = 279.368350000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40583379-0.40588173) × cos(0.41609741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914673304880716 × 6371000     		do = 279.364771001255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40583379-0.40588173) × cos(0.41605356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914691027905831 × 6371000     		du = 279.370184069316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41609741)-sin(0.41605356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914673304880716-0.914691027905831)×R²
    abs(0.40588173-0.40583379)×1.7723025114269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7723025114269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7723025114269e-05×40589641000000     		ar = 78046.4312551762m²