Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74001 / 90611
↖ ↑ ↗
← S 56.539801°
E 23.249817°		 ← 168.36 m → S 56.539801°
E 23.252563°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
S 56.541316°
E 23.249817°		 ← 168.36 m →
28 349 m²		 S 56.541316°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564586639404297 y=0.691310882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564586639404297 × 217)
    floor (0.564586639404297 × 131072)
    floor (74001.5)     		tx = 74001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691310882568359 × 217)
    floor (0.691310882568359 × 131072)
    floor (90611.5)     		ty = 90611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74001 / 90611 ti = "17/74001/90611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74001/90611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74001 ÷ 217
    74001 ÷ 131072     		x = 0.564582824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90611 ÷ 217
    90611 ÷ 131072     		y = 0.691307067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564582824707031 × 2 - 1) × π
    0.129165649414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40578586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691307067871094 × 2 - 1) × π
    -0.382614135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.20201775797291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40578586} λ = 0.40578586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20201775797291))-π/2
    2×atan(0.300587087610657)-π/2
    2×0.291995319895686-π/2
    0.583990639791373-1.57079632675     		φ = -0.98680569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40578586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.249817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98680569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.539801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74001 KachelY 90611 0.40578586 -0.98680569 23.249817 -56.539801
    Oben rechts KachelX + 1 74002 KachelY 90611 0.40583379 -0.98680569 23.252563 -56.539801
    Unten links KachelX 74001 KachelY + 1 90612 0.40578586 -0.98683212 23.249817 -56.541316
    Unten rechts KachelX + 1 74002 KachelY + 1 90612 0.40583379 -0.98683212 23.252563 -56.541316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98680569--0.98683212) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dl = 168.385530000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98680569--0.98683212) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dr = 168.385530000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40578586-0.40583379) × cos(-0.98680569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.551357582875746 × 6371000     		do = 168.363670762934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40578586-0.40583379) × cos(-0.98683212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.55133553295269 × 6371000     		du = 168.356937553668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98680569)-sin(-0.98683212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551357582875746-0.55133553295269)×R²
    abs(0.40583379-0.40578586)×2.2049923056322e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2049923056322e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2049923056322e-05×40589641000000     		ar = 28349.4390482424m²