Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74001 / 90385
↖ ↑ ↗
← S 56.196009°
E 23.249817°		 ← 169.89 m → S 56.196009°
E 23.252563°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
S 56.197537°
E 23.249817°		 ← 169.88 m →
28 866 m²		 S 56.197537°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564586639404297 y=0.689586639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564586639404297 × 217)
    floor (0.564586639404297 × 131072)
    floor (74001.5)     		tx = 74001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689586639404297 × 217)
    floor (0.689586639404297 × 131072)
    floor (90385.5)     		ty = 90385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74001 / 90385 ti = "17/74001/90385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74001/90385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74001 ÷ 217
    74001 ÷ 131072     		x = 0.564582824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90385 ÷ 217
    90385 ÷ 131072     		y = 0.689582824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564582824707031 × 2 - 1) × π
    0.129165649414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40578586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689582824707031 × 2 - 1) × π
    -0.379165649414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.19118401865878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40578586} λ = 0.40578586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19118401865878))-π/2
    2×atan(0.303861273573439)-π/2
    2×0.294995471831774-π/2
    0.589990943663549-1.57079632675     		φ = -0.98080538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40578586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.249817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98080538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74001 KachelY 90385 0.40578586 -0.98080538 23.249817 -56.196009
    Oben rechts KachelX + 1 74002 KachelY 90385 0.40583379 -0.98080538 23.252563 -56.196009
    Unten links KachelX 74001 KachelY + 1 90386 0.40578586 -0.98083205 23.249817 -56.197537
    Unten rechts KachelX + 1 74002 KachelY + 1 90386 0.40583379 -0.98083205 23.252563 -56.197537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98080538--0.98083205) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98080538--0.98083205) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40578586-0.40583379) × cos(-0.98080538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.556353500213587 × 6371000     		do = 169.88923422293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40578586-0.40583379) × cos(-0.98083205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.556331338693483 × 6371000     		du = 169.882466936163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98080538)-sin(-0.98083205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556353500213587-0.556331338693483)×R²
    abs(0.40583379-0.40578586)×2.21615201049241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21615201049241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21615201049241e-05×40589641000000     		ar = 28866.081251973m²