Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74001 / 54543
↖ ↑ ↗
← N 28.885565°
E 23.249817°		 ← 267.37 m → N 28.885565°
E 23.252563°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 28.883159°
E 23.249817°		 ← 267.38 m →
71 510 m²		 N 28.883159°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564586639404297 y=0.416133880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564586639404297 × 217)
    floor (0.564586639404297 × 131072)
    floor (74001.5)     		tx = 74001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416133880615234 × 217)
    floor (0.416133880615234 × 131072)
    floor (54543.5)     		ty = 54543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74001 / 54543 ti = "17/74001/54543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74001/54543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74001 ÷ 217
    74001 ÷ 131072     		x = 0.564582824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54543 ÷ 217
    54543 ÷ 131072     		y = 0.416130065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564582824707031 × 2 - 1) × π
    0.129165649414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40578586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416130065917969 × 2 - 1) × π
    0.167739868164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.526970337523277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40578586} λ = 0.40578586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526970337523277))-π/2
    2×atan(1.6937929064108)-π/2
    2×1.03747226686005-π/2
    2.0749445337201-1.57079632675     		φ = 0.50414821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40578586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.249817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50414821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.885565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74001 KachelY 54543 0.40578586 0.50414821 23.249817 28.885565
    Oben rechts KachelX + 1 74002 KachelY 54543 0.40583379 0.50414821 23.252563 28.885565
    Unten links KachelX 74001 KachelY + 1 54544 0.40578586 0.50410623 23.249817 28.883159
    Unten rechts KachelX + 1 74002 KachelY + 1 54544 0.40583379 0.50410623 23.252563 28.883159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50414821-0.50410623) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50414821-0.50410623) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40578586-0.40583379) × cos(0.50414821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.875586259226222 × 6371000     		do = 267.370797557589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40578586-0.40583379) × cos(0.50410623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.87560653738905 × 6371000     		du = 267.376989738555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50414821)-sin(0.50410623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875586259226222-0.87560653738905)×R²
    abs(0.40583379-0.40578586)×2.02781628277915e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02781628277915e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02781628277915e-05×40589641000000     		ar = 71510.372439048m²