Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74000 / 90610
↖ ↑ ↗
← S 56.538287°
E 23.247070°		 ← 168.41 m → S 56.538287°
E 23.249817°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
S 56.539801°
E 23.247070°		 ← 168.40 m →
28 356 m²		 S 56.539801°
E 23.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564579010009766 y=0.691303253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564579010009766 × 217)
    floor (0.564579010009766 × 131072)
    floor (74000.5)     		tx = 74000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691303253173828 × 217)
    floor (0.691303253173828 × 131072)
    floor (90610.5)     		ty = 90610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74000 / 90610 ti = "17/74000/90610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74000/90610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74000 ÷ 217
    74000 ÷ 131072     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90610 ÷ 217
    90610 ÷ 131072     		y = 0.691299438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691299438476562 × 2 - 1) × π
    -0.382598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20196982107329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20196982107329))-π/2
    2×atan(0.300601497169075)-π/2
    2×0.292008535346553-π/2
    0.584017070693107-1.57079632675     		φ = -0.98677926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98677926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.538287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74000 KachelY 90610 0.40573792 -0.98677926 23.247070 -56.538287
    Oben rechts KachelX + 1 74001 KachelY 90610 0.40578586 -0.98677926 23.249817 -56.538287
    Unten links KachelX 74000 KachelY + 1 90611 0.40573792 -0.98680569 23.247070 -56.539801
    Unten rechts KachelX + 1 74001 KachelY + 1 90611 0.40578586 -0.98680569 23.249817 -56.539801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98677926--0.98680569) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dl = 168.385529999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98677926--0.98680569) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dr = 168.385529999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.98677926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551379632413654 × 6371000     		do = 168.405532250953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.98680569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551357582875746 × 6371000     		du = 168.398797754521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98677926)-sin(-0.98680569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551379632413654-0.551357582875746)×R²
    abs(0.40578586-0.40573792)×2.20495379082974e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20495379082974e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20495379082974e-05×40589641000000     		ar = 28356.4878087341m²