Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74000 / 90469
↖ ↑ ↗
← S 56.324153°
E 23.247070°		 ← 169.36 m → S 56.324153°
E 23.249817°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
S 56.325675°
E 23.247070°		 ← 169.35 m →
28 678 m²		 S 56.325675°
E 23.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564579010009766 y=0.690227508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564579010009766 × 217)
    floor (0.564579010009766 × 131072)
    floor (74000.5)     		tx = 74000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690227508544922 × 217)
    floor (0.690227508544922 × 131072)
    floor (90469.5)     		ty = 90469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74000 / 90469 ti = "17/74000/90469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74000/90469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74000 ÷ 217
    74000 ÷ 131072     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90469 ÷ 217
    90469 ÷ 131072     		y = 0.690223693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690223693847656 × 2 - 1) × π
    -0.380447387695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.19521071822686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19521071822686))-π/2
    2×atan(0.302640175661538)-π/2
    2×0.293877210449232-π/2
    0.587754420898465-1.57079632675     		φ = -0.98304191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98304191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.324153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74000 KachelY 90469 0.40573792 -0.98304191 23.247070 -56.324153
    Oben rechts KachelX + 1 74001 KachelY 90469 0.40578586 -0.98304191 23.249817 -56.324153
    Unten links KachelX 74000 KachelY + 1 90470 0.40573792 -0.98306849 23.247070 -56.325675
    Unten rechts KachelX + 1 74001 KachelY + 1 90470 0.40578586 -0.98306849 23.249817 -56.325675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98304191--0.98306849) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98304191--0.98306849) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.98304191) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554493675282898 × 6371000     		do = 169.356641098684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.98306849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554471555531636 × 6371000     		du = 169.349885157286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98304191)-sin(-0.98306849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554493675282898-0.554471555531636)×R²
    abs(0.40578586-0.40573792)×2.21197512619842e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21197512619842e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21197512619842e-05×40589641000000     		ar = 28678.4814166728m²