Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74000 / 90383
↖ ↑ ↗
← S 56.192953°
E 23.247070°		 ← 169.94 m → S 56.192953°
E 23.249817°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
S 56.194481°
E 23.247070°		 ← 169.93 m →
28 874 m²		 S 56.194481°
E 23.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564579010009766 y=0.689571380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564579010009766 × 217)
    floor (0.564579010009766 × 131072)
    floor (74000.5)     		tx = 74000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689571380615234 × 217)
    floor (0.689571380615234 × 131072)
    floor (90383.5)     		ty = 90383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74000 / 90383 ti = "17/74000/90383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74000/90383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74000 ÷ 217
    74000 ÷ 131072     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90383 ÷ 217
    90383 ÷ 131072     		y = 0.689567565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689567565917969 × 2 - 1) × π
    -0.379135131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.19108814485954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19108814485954))-π/2
    2×atan(0.303890407304737)-π/2
    2×0.295022142755898-π/2
    0.590044285511795-1.57079632675     		φ = -0.98075204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98075204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.192953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74000 KachelY 90383 0.40573792 -0.98075204 23.247070 -56.192953
    Oben rechts KachelX + 1 74001 KachelY 90383 0.40578586 -0.98075204 23.249817 -56.192953
    Unten links KachelX 74000 KachelY + 1 90384 0.40573792 -0.98077871 23.247070 -56.194481
    Unten rechts KachelX + 1 74001 KachelY + 1 90384 0.40578586 -0.98077871 23.249817 -56.194481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98075204--0.98077871) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98075204--0.98077871) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.98075204) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556397822066597 × 6371000     		do = 169.938216539164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.98077871) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556375661337964 × 6371000     		du = 169.931448082222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98075204)-sin(-0.98077871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556397822066597-0.556375661337964)×R²
    abs(0.40578586-0.40573792)×2.21607286330361e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21607286330361e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21607286330361e-05×40589641000000     		ar = 28874.403961884m²