Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74000 / 61169
↖ ↑ ↗
← N 11.907666°
E 23.247070°		 ← 298.85 m → N 11.907666°
E 23.249817°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
N 11.904978°
E 23.247070°		 ← 298.86 m →
89 317 m²		 N 11.904978°
E 23.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564579010009766 y=0.466686248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564579010009766 × 217)
    floor (0.564579010009766 × 131072)
    floor (74000.5)     		tx = 74000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466686248779297 × 217)
    floor (0.466686248779297 × 131072)
    floor (61169.5)     		ty = 61169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74000 / 61169 ti = "17/74000/61169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74000/61169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74000 ÷ 217
    74000 ÷ 131072     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61169 ÷ 217
    61169 ÷ 131072     		y = 0.466682434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466682434082031 × 2 - 1) × π
    0.0666351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.209340440640785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209340440640785))-π/2
    2×atan(1.23286464432348)-π/2
    2×0.889312153140948-π/2
    1.7786243062819-1.57079632675     		φ = 0.20782798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20782798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.907666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74000 KachelY 61169 0.40573792 0.20782798 23.247070 11.907666
    Oben rechts KachelX + 1 74001 KachelY 61169 0.40578586 0.20782798 23.249817 11.907666
    Unten links KachelX 74000 KachelY + 1 61170 0.40573792 0.20778107 23.247070 11.904978
    Unten rechts KachelX + 1 74001 KachelY + 1 61170 0.40578586 0.20778107 23.249817 11.904978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20782798-0.20778107) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dl = 298.863609999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20782798-0.20778107) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dr = 298.863609999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(0.20782798) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978481386426725 × 6371000     		do = 298.853401525759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(0.20778107) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978491064529998 × 6371000     		du = 298.856357467612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20782798)-sin(0.20778107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978481386426725-0.978491064529998)×R²
    abs(0.40578586-0.40573792)×9.67810327223706e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.67810327223706e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.67810327223706e-06×40589641000000     		ar = 89316.8481688351m²