Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7400 / 4424
↖ ↑ ↗
← N 63.470145°
W 17.402344°		 ← 1 091.32 m → N 63.470145°
W 17.380371°		 →
↑
1 091.48 m
↓
↑
1 091.48 m
↓
N 63.460329°
W 17.402344°		 ← 1 091.70 m →
1 191 363 m²		 N 63.460329°
W 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451690673828125 y=0.270050048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451690673828125 × 214)
    floor (0.451690673828125 × 16384)
    floor (7400.5)     		tx = 7400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270050048828125 × 214)
    floor (0.270050048828125 × 16384)
    floor (4424.5)     		ty = 4424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7400 / 4424 ti = "14/7400/4424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7400/4424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7400 ÷ 214
    7400 ÷ 16384     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4424 ÷ 214
    4424 ÷ 16384     		y = 0.27001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27001953125 × 2 - 1) × π
    0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44500990214697))-π/2
    2×atan(4.24189414647175)-π/2
    2×1.3392796646607-π/2
    2.6785593293214-1.57079632675     		φ = 1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7400 KachelY 4424 -0.30372820 1.10776300 -17.402344 63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 7401 KachelY 4424 -0.30334470 1.10776300 -17.380371 63.470145
    Unten links KachelX 7400 KachelY + 1 4425 -0.30372820 1.10759168 -17.402344 63.460329
    Unten rechts KachelX + 1 7401 KachelY + 1 4425 -0.30334470 1.10759168 -17.380371 63.460329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10776300-1.10759168) × R
    0.000171319999999975 × 6371000     		dl = 1091.47971999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10776300-1.10759168) × R
    0.000171319999999975 × 6371000     		dr = 1091.47971999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30334470) × cos(1.10776300) × R
    0.000383499999999981 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 1091.32474448625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30334470) × cos(1.10759168) × R
    0.000383499999999981 × 0.446817354196241 × 6371000     		du = 1091.69923493451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10776300)-sin(1.10759168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.446817354196241)×R²
    abs(-0.30334470--0.30372820)×0.000153273746016536×R²
    0.000383499999999981×0.000153273746016536×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153273746016536×40589641000000     		ar = 1191363.20382072m²