Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7400 / 10332
↖ ↑ ↗
← S 42.488302°
W 17.402344°		 ← 1 801.71 m → S 42.488302°
W 17.380371°		 →
↑
1 801.46 m
↓
↑
1 801.46 m
↓
S 42.504503°
W 17.402344°		 ← 1 801.24 m →
3 245 297 m²		 S 42.504503°
W 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451690673828125 y=0.630645751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451690673828125 × 214)
    floor (0.451690673828125 × 16384)
    floor (7400.5)     		tx = 7400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630645751953125 × 214)
    floor (0.630645751953125 × 16384)
    floor (10332.5)     		ty = 10332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7400 / 10332 ti = "14/7400/10332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7400/10332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7400 ÷ 214
    7400 ÷ 16384     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10332 ÷ 214
    10332 ÷ 16384     		y = 0.630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.26123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820679721495361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820679721495361))-π/2
    2×atan(0.440132385364551)-π/2
    2×0.414617781843255-π/2
    0.82923556368651-1.57079632675     		φ = -0.74156076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74156076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.488302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7400 KachelY 10332 -0.30372820 -0.74156076 -17.402344 -42.488302
    Oben rechts KachelX + 1 7401 KachelY 10332 -0.30334470 -0.74156076 -17.380371 -42.488302
    Unten links KachelX 7400 KachelY + 1 10333 -0.30372820 -0.74184352 -17.402344 -42.504503
    Unten rechts KachelX + 1 7401 KachelY + 1 10333 -0.30334470 -0.74184352 -17.380371 -42.504503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74156076--0.74184352) × R
    0.000282759999999938 × 6371000     		dl = 1801.4639599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74156076--0.74184352) × R
    0.000282759999999938 × 6371000     		dr = 1801.4639599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30334470) × cos(-0.74156076) × R
    0.000383499999999981 × 0.737415258111804 × 6371000     		do = 1801.71084571643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30334470) × cos(-0.74184352) × R
    0.000383499999999981 × 0.73722424131614 × 6371000     		du = 1801.24413848645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74156076)-sin(-0.74184352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737415258111804-0.73722424131614)×R²
    abs(-0.30334470--0.30372820)×0.000191016795664356×R²
    0.000383499999999981×0.000191016795664356×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191016795664356×40589641000000     		ar = 3245296.79839394m²