Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7400 / 10220
↖ ↑ ↗
← S 40.647304°
W 17.402344°		 ← 1 853.80 m → S 40.647304°
W 17.380371°		 →
↑
1 853.52 m
↓
↑
1 853.52 m
↓
S 40.663973°
W 17.402344°		 ← 1 853.33 m →
3 435 613 m²		 S 40.663973°
W 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451690673828125 y=0.623809814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451690673828125 × 214)
    floor (0.451690673828125 × 16384)
    floor (7400.5)     		tx = 7400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623809814453125 × 214)
    floor (0.623809814453125 × 16384)
    floor (10220.5)     		ty = 10220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7400 / 10220 ti = "14/7400/10220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7400/10220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7400 ÷ 214
    7400 ÷ 16384     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10220 ÷ 214
    10220 ÷ 16384     		y = 0.623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777728259435791))-π/2
    2×atan(0.459448574604279)-π/2
    2×0.430683523794062-π/2
    0.861367047588124-1.57079632675     		φ = -0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7400 KachelY 10220 -0.30372820 -0.70942928 -17.402344 -40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 7401 KachelY 10220 -0.30334470 -0.70942928 -17.380371 -40.647304
    Unten links KachelX 7400 KachelY + 1 10221 -0.30372820 -0.70972021 -17.402344 -40.663973
    Unten rechts KachelX + 1 7401 KachelY + 1 10221 -0.30334470 -0.70972021 -17.380371 -40.663973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70942928--0.70972021) × R
    0.000290929999999912 × 6371000     		dl = 1853.51502999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70942928--0.70972021) × R
    0.000290929999999912 × 6371000     		dr = 1853.51502999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30334470) × cos(-0.70942928) × R
    0.000383499999999981 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 1853.79790021515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30334470) × cos(-0.70972021) × R
    0.000383499999999981 × 0.758544222875712 × 6371000     		du = 1853.33479105134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70942928)-sin(-0.70972021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.758544222875712)×R²
    abs(-0.30334470--0.30372820)×0.000189544157085941×R²
    0.000383499999999981×0.000189544157085941×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189544157085941×40589641000000     		ar = 3435613.10496465m²