Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73999 / 90321
↖ ↑ ↗
← S 56.098088°
E 23.244324°		 ← 170.36 m → S 56.098088°
E 23.247070°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
S 56.099620°
E 23.244324°		 ← 170.35 m →
29 011 m²		 S 56.099620°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564571380615234 y=0.689098358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564571380615234 × 217)
    floor (0.564571380615234 × 131072)
    floor (73999.5)     		tx = 73999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689098358154297 × 217)
    floor (0.689098358154297 × 131072)
    floor (90321.5)     		ty = 90321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73999 / 90321 ti = "17/73999/90321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73999/90321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73999 ÷ 217
    73999 ÷ 131072     		x = 0.564567565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90321 ÷ 217
    90321 ÷ 131072     		y = 0.689094543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564567565917969 × 2 - 1) × π
    0.129135131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40568998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689094543457031 × 2 - 1) × π
    -0.378189086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.18811605708309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40568998} λ = 0.40568998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18811605708309))-π/2
    2×atan(0.304794939778786)-π/2
    2×0.29584999575336-π/2
    0.591699991506721-1.57079632675     		φ = -0.97909634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40568998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.244324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97909634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.098088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73999 KachelY 90321 0.40568998 -0.97909634 23.244324 -56.098088
    Oben rechts KachelX + 1 74000 KachelY 90321 0.40573792 -0.97909634 23.247070 -56.098088
    Unten links KachelX 73999 KachelY + 1 90322 0.40568998 -0.97912307 23.244324 -56.099620
    Unten rechts KachelX + 1 74000 KachelY + 1 90322 0.40573792 -0.97912307 23.247070 -56.099620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97909634--0.97912307) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97909634--0.97912307) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40568998-0.40573792) × cos(-0.97909634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.557772806485216 × 6371000     		do = 170.358172172512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40568998-0.40573792) × cos(-0.97912307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		du = 170.351396018386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97909634)-sin(-0.97912307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557772806485216-0.557750620555091)×R²
    abs(0.40573792-0.40568998)×2.21859301249294e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21859301249294e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21859301249294e-05×40589641000000     		ar = 29010.8797085531m²