Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73999 / 60399
↖ ↑ ↗
← N 13.968720°
E 23.244324°		 ← 296.39 m → N 13.968720°
E 23.247070°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
N 13.966054°
E 23.244324°		 ← 296.40 m →
87 845 m²		 N 13.966054°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564571380615234 y=0.460811614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564571380615234 × 217)
    floor (0.564571380615234 × 131072)
    floor (73999.5)     		tx = 73999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460811614990234 × 217)
    floor (0.460811614990234 × 131072)
    floor (60399.5)     		ty = 60399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73999 / 60399 ti = "17/73999/60399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73999/60399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73999 ÷ 217
    73999 ÷ 131072     		x = 0.564567565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60399 ÷ 217
    60399 ÷ 131072     		y = 0.460807800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564567565917969 × 2 - 1) × π
    0.129135131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40568998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460807800292969 × 2 - 1) × π
    0.0783843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.246251853348228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40568998} λ = 0.40568998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246251853348228))-π/2
    2×atan(1.27922170924516)-π/2
    2×0.907298236790528-π/2
    1.81459647358106-1.57079632675     		φ = 0.24380015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40568998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.244324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24380015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.968720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73999 KachelY 60399 0.40568998 0.24380015 23.244324 13.968720
    Oben rechts KachelX + 1 74000 KachelY 60399 0.40573792 0.24380015 23.247070 13.968720
    Unten links KachelX 73999 KachelY + 1 60400 0.40568998 0.24375363 23.244324 13.966054
    Unten rechts KachelX + 1 74000 KachelY + 1 60400 0.40573792 0.24375363 23.247070 13.966054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24380015-0.24375363) × R
    4.65199999999943e-05 × 6371000     		dl = 296.378919999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24380015-0.24375363) × R
    4.65199999999943e-05 × 6371000     		dr = 296.378919999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40568998-0.40573792) × cos(0.24380015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970427657784927 × 6371000     		do = 296.393585495234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40568998-0.40573792) × cos(0.24375363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97043888629681 × 6371000     		du = 296.397014971785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24380015)-sin(0.24375363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970427657784927-0.97043888629681)×R²
    abs(0.40573792-0.40568998)×1.12285118830657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12285118830657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12285118830657e-05×40589641000000     		ar = 87845.318992096m²