Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73999 / 54544
↖ ↑ ↗
← N 28.883159°
E 23.244324°		 ← 267.43 m → N 28.883159°
E 23.247070°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.880755°
E 23.244324°		 ← 267.44 m →
71 510 m²		 N 28.880755°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564571380615234 y=0.416141510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564571380615234 × 217)
    floor (0.564571380615234 × 131072)
    floor (73999.5)     		tx = 73999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416141510009766 × 217)
    floor (0.416141510009766 × 131072)
    floor (54544.5)     		ty = 54544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73999 / 54544 ti = "17/73999/54544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73999/54544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73999 ÷ 217
    73999 ÷ 131072     		x = 0.564567565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54544 ÷ 217
    54544 ÷ 131072     		y = 0.4161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564567565917969 × 2 - 1) × π
    0.129135131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40568998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4161376953125 × 2 - 1) × π
    0.167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.526922400623657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40568998} λ = 0.40568998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526922400623657))-π/2
    2×atan(1.69371171317636)-π/2
    2×1.03745128017172-π/2
    2.07490256034344-1.57079632675     		φ = 0.50410623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40568998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.244324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50410623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.883159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73999 KachelY 54544 0.40568998 0.50410623 23.244324 28.883159
    Oben rechts KachelX + 1 74000 KachelY 54544 0.40573792 0.50410623 23.247070 28.883159
    Unten links KachelX 73999 KachelY + 1 54545 0.40568998 0.50406426 23.244324 28.880755
    Unten rechts KachelX + 1 74000 KachelY + 1 54545 0.40573792 0.50406426 23.247070 28.880755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50410623-0.50406426) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dl = 267.390869999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50410623-0.50406426) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dr = 267.390869999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40568998-0.40573792) × cos(0.50410623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87560653738905 × 6371000     		do = 267.432774630713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40568998-0.40573792) × cos(0.50406426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875626809178895 × 6371000     		du = 267.438966157128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50410623)-sin(0.50406426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87560653738905-0.875626809178895)×R²
    abs(0.40573792-0.40568998)×2.02717898456495e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02717898456495e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02717898456495e-05×40589641000000     		ar = 71509.9100642374m²