Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73998 / 90382
↖ ↑ ↗
← S 56.191425°
E 23.241577°		 ← 169.94 m → S 56.191425°
E 23.244324°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
S 56.192953°
E 23.241577°		 ← 169.94 m →
28 876 m²		 S 56.192953°
E 23.244324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564563751220703 y=0.689563751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564563751220703 × 217)
    floor (0.564563751220703 × 131072)
    floor (73998.5)     		tx = 73998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689563751220703 × 217)
    floor (0.689563751220703 × 131072)
    floor (90382.5)     		ty = 90382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73998 / 90382 ti = "17/73998/90382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73998/90382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73998 ÷ 217
    73998 ÷ 131072     		x = 0.564559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90382 ÷ 217
    90382 ÷ 131072     		y = 0.689559936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564559936523438 × 2 - 1) × π
    0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689559936523438 × 2 - 1) × π
    -0.379119873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19104020795992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40564204} λ = 0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19104020795992))-π/2
    2×atan(0.303904975217855)-π/2
    2×0.295035479014743-π/2
    0.590070958029487-1.57079632675     		φ = -0.98072537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98072537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.191425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73998 KachelY 90382 0.40564204 -0.98072537 23.241577 -56.191425
    Oben rechts KachelX + 1 73999 KachelY 90382 0.40568998 -0.98072537 23.244324 -56.191425
    Unten links KachelX 73998 KachelY + 1 90383 0.40564204 -0.98075204 23.241577 -56.192953
    Unten rechts KachelX + 1 73999 KachelY + 1 90383 0.40568998 -0.98075204 23.244324 -56.192953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98072537--0.98075204) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98072537--0.98075204) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40564204-0.40568998) × cos(-0.98072537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556419982399471 × 6371000     		do = 169.944984875231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40564204-0.40568998) × cos(-0.98075204) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556397822066597 × 6371000     		du = 169.938216539164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98072537)-sin(-0.98075204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556419982399471-0.556397822066597)×R²
    abs(0.40568998-0.40564204)×2.21603328733888e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21603328733888e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21603328733888e-05×40589641000000     		ar = 28875.5540108258m²