Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73998 / 56579
↖ ↑ ↗
← N 23.878303°
E 23.241577°		 ← 279.28 m → N 23.878303°
E 23.244324°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 23.875792°
E 23.241577°		 ← 279.29 m →
77 988 m²		 N 23.875792°
E 23.244324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564563751220703 y=0.431667327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564563751220703 × 217)
    floor (0.564563751220703 × 131072)
    floor (73998.5)     		tx = 73998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431667327880859 × 217)
    floor (0.431667327880859 × 131072)
    floor (56579.5)     		ty = 56579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73998 / 56579 ti = "17/73998/56579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73998/56579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73998 ÷ 217
    73998 ÷ 131072     		x = 0.564559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56579 ÷ 217
    56579 ÷ 131072     		y = 0.431663513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564559936523438 × 2 - 1) × π
    0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431663513183594 × 2 - 1) × π
    0.136672973632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.429370809896843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40564204} λ = 0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429370809896843))-π/2
    2×atan(1.53629060054955)-π/2
    2×0.993775670758632-π/2
    1.98755134151726-1.57079632675     		φ = 0.41675501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41675501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.878303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73998 KachelY 56579 0.40564204 0.41675501 23.241577 23.878303
    Oben rechts KachelX + 1 73999 KachelY 56579 0.40568998 0.41675501 23.244324 23.878303
    Unten links KachelX 73998 KachelY + 1 56580 0.40564204 0.41671118 23.241577 23.875792
    Unten rechts KachelX + 1 73999 KachelY + 1 56580 0.40568998 0.41671118 23.244324 23.875792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41675501-0.41671118) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dl = 279.240929999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41675501-0.41671118) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dr = 279.240929999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40564204-0.40568998) × cos(0.41675501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914407309191877 × 6371000     		do = 279.283529071478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40564204-0.40568998) × cos(0.41671118) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914425050493608 × 6371000     		du = 279.288947721688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41675501)-sin(0.41671118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914407309191877-0.914425050493608)×R²
    abs(0.40568998-0.40564204)×1.77413017306005e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77413017306005e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77413017306005e-05×40589641000000     		ar = 77988.1489584198m²