Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73997 / 90405
↖ ↑ ↗
← S 56.226558°
E 23.238831°		 ← 169.75 m → S 56.226558°
E 23.241577°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
S 56.228085°
E 23.238831°		 ← 169.75 m →
28 821 m²		 S 56.228085°
E 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564556121826172 y=0.689739227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564556121826172 × 217)
    floor (0.564556121826172 × 131072)
    floor (73997.5)     		tx = 73997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689739227294922 × 217)
    floor (0.689739227294922 × 131072)
    floor (90405.5)     		ty = 90405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73997 / 90405 ti = "17/73997/90405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73997/90405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73997 ÷ 217
    73997 ÷ 131072     		x = 0.564552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90405 ÷ 217
    90405 ÷ 131072     		y = 0.689735412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564552307128906 × 2 - 1) × π
    0.129104614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40559411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689735412597656 × 2 - 1) × π
    -0.379470825195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.19214275665118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40559411} λ = 0.40559411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19214275665118))-π/2
    2×atan(0.303570089832807)-π/2
    2×0.294728879432478-π/2
    0.589457758864956-1.57079632675     		φ = -0.98133857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40559411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.238831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98133857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.226558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73997 KachelY 90405 0.40559411 -0.98133857 23.238831 -56.226558
    Oben rechts KachelX + 1 73998 KachelY 90405 0.40564204 -0.98133857 23.241577 -56.226558
    Unten links KachelX 73997 KachelY + 1 90406 0.40559411 -0.98136522 23.238831 -56.228085
    Unten rechts KachelX + 1 73998 KachelY + 1 90406 0.40564204 -0.98136522 23.241577 -56.228085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98133857--0.98136522) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98133857--0.98136522) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(-0.98133857) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.555910369205006 × 6371000     		do = 169.753918838397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(-0.98136522) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		du = 169.747154213472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98133857)-sin(-0.98136522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555910369205006-0.555888216401905)×R²
    abs(0.40564204-0.40559411)×2.21528031010276e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21528031010276e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21528031010276e-05×40589641000000     		ar = 28821.4598095645m²