Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73997 / 56974
↖ ↑ ↗
← N 22.882501°
E 23.238831°		 ← 281.33 m → N 22.882501°
E 23.241577°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.879971°
E 23.238831°		 ← 281.34 m →
79 151 m²		 N 22.879971°
E 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564556121826172 y=0.434680938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564556121826172 × 217)
    floor (0.564556121826172 × 131072)
    floor (73997.5)     		tx = 73997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434680938720703 × 217)
    floor (0.434680938720703 × 131072)
    floor (56974.5)     		ty = 56974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73997 / 56974 ti = "17/73997/56974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73997/56974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73997 ÷ 217
    73997 ÷ 131072     		x = 0.564552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56974 ÷ 217
    56974 ÷ 131072     		y = 0.434677124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564552307128906 × 2 - 1) × π
    0.129104614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40559411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434677124023438 × 2 - 1) × π
    0.130645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.410435734546921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40559411} λ = 0.40559411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410435734546921))-π/2
    2×atan(1.5074745007442)-π/2
    2×0.985085658953086-π/2
    1.97017131790617-1.57079632675     		φ = 0.39937499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40559411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.238831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39937499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.882501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73997 KachelY 56974 0.40559411 0.39937499 23.238831 22.882501
    Oben rechts KachelX + 1 73998 KachelY 56974 0.40564204 0.39937499 23.241577 22.882501
    Unten links KachelX 73997 KachelY + 1 56975 0.40559411 0.39933083 23.238831 22.879971
    Unten rechts KachelX + 1 73998 KachelY + 1 56975 0.40564204 0.39933083 23.241577 22.879971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39937499-0.39933083) × R
    4.41599999999598e-05 × 6371000     		dl = 281.343359999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39937499-0.39933083) × R
    4.41599999999598e-05 × 6371000     		dr = 281.343359999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(0.39937499) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.921304204444689 × 6371000     		do = 281.331322116612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(0.39933083) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.921321374835312 × 6371000     		du = 281.336565301948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39937499)-sin(0.39933083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921304204444689-0.921321374835312)×R²
    abs(0.40564204-0.40559411)×1.71703906231002e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.71703906231002e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.71703906231002e-05×40589641000000     		ar = 79151.4370179367m²