Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73997 / 56586
↖ ↑ ↗
← N 23.860722°
E 23.238831°		 ← 279.26 m → N 23.860722°
E 23.241577°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 23.858210°
E 23.238831°		 ← 279.27 m →
78 000 m²		 N 23.858210°
E 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564556121826172 y=0.431720733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564556121826172 × 217)
    floor (0.564556121826172 × 131072)
    floor (73997.5)     		tx = 73997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431720733642578 × 217)
    floor (0.431720733642578 × 131072)
    floor (56586.5)     		ty = 56586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73997 / 56586 ti = "17/73997/56586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73997/56586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73997 ÷ 217
    73997 ÷ 131072     		x = 0.564552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56586 ÷ 217
    56586 ÷ 131072     		y = 0.431716918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564552307128906 × 2 - 1) × π
    0.129104614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40559411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431716918945312 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429035251599503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40559411} λ = 0.40559411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429035251599503))-π/2
    2×atan(1.53577517197441)-π/2
    2×0.993622241861411-π/2
    1.98724448372282-1.57079632675     		φ = 0.41644816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40559411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.238831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41644816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.860722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73997 KachelY 56586 0.40559411 0.41644816 23.238831 23.860722
    Oben rechts KachelX + 1 73998 KachelY 56586 0.40564204 0.41644816 23.241577 23.860722
    Unten links KachelX 73997 KachelY + 1 56587 0.40559411 0.41640432 23.238831 23.858210
    Unten rechts KachelX + 1 73998 KachelY + 1 56587 0.40564204 0.41640432 23.241577 23.858210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41644816-0.41640432) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dl = 279.30464000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41644816-0.41640432) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dr = 279.30464000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(0.41644816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914531477593245 × 6371000     		do = 279.26318849662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(0.41640432) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914549210640689 × 6371000     		du = 279.268603495986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41644816)-sin(0.41640432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914531477593245-0.914549210640689)×R²
    abs(0.40564204-0.40559411)×1.77330474435689e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.77330474435689e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.77330474435689e-05×40589641000000     		ar = 78000.2605580898m²