Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73997 / 56582
↖ ↑ ↗
← N 23.870769°
E 23.238831°		 ← 279.24 m → N 23.870769°
E 23.241577°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 23.868257°
E 23.238831°		 ← 279.25 m →
77 994 m²		 N 23.868257°
E 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564556121826172 y=0.431690216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564556121826172 × 217)
    floor (0.564556121826172 × 131072)
    floor (73997.5)     		tx = 73997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431690216064453 × 217)
    floor (0.431690216064453 × 131072)
    floor (56582.5)     		ty = 56582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73997 / 56582 ti = "17/73997/56582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73997/56582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73997 ÷ 217
    73997 ÷ 131072     		x = 0.564552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56582 ÷ 217
    56582 ÷ 131072     		y = 0.431686401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564552307128906 × 2 - 1) × π
    0.129104614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40559411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431686401367188 × 2 - 1) × π
    0.136627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.429226999197983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40559411} λ = 0.40559411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429226999197983))-π/2
    2×atan(1.53606968141028)-π/2
    2×0.993709918068028-π/2
    1.98741983613606-1.57079632675     		φ = 0.41662351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40559411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.238831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41662351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.870769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73997 KachelY 56582 0.40559411 0.41662351 23.238831 23.870769
    Oben rechts KachelX + 1 73998 KachelY 56582 0.40564204 0.41662351 23.241577 23.870769
    Unten links KachelX 73997 KachelY + 1 56583 0.40559411 0.41657967 23.238831 23.868257
    Unten rechts KachelX + 1 73998 KachelY + 1 56583 0.40564204 0.41657967 23.241577 23.868257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41662351-0.41657967) × R
    4.38399999999617e-05 × 6371000     		dl = 279.304639999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41662351-0.41657967) × R
    4.38399999999617e-05 × 6371000     		dr = 279.304639999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(0.41662351) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914460531873766 × 6371000     		do = 279.2415243677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40559411-0.40564204) × cos(0.41657967) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914478271951323 × 6371000     		du = 279.246941513795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41662351)-sin(0.41657967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914460531873766-0.914478271951323)×R²
    abs(0.40564204-0.40559411)×1.77400775570602e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.77400775570602e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.77400775570602e-05×40589641000000     		ar = 77994.2099660754m²