Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73996 / 56580
↖ ↑ ↗
← N 23.875792°
E 23.236084°		 ← 279.29 m → N 23.875792°
E 23.238831°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 23.873281°
E 23.236084°		 ← 279.29 m →
77 990 m²		 N 23.873281°
E 23.238831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564548492431641 y=0.431674957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564548492431641 × 217)
    floor (0.564548492431641 × 131072)
    floor (73996.5)     		tx = 73996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		ty = 56580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73996 / 56580 ti = "17/73996/56580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73996/56580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73996 ÷ 217
    73996 ÷ 131072     		x = 0.564544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		y = 0.431671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564544677734375 × 2 - 1) × π
    0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429322872997223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40554617} λ = 0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429322872997223))-π/2
    2×atan(1.53621695730637)-π/2
    2×0.993753753620342-π/2
    1.98750750724068-1.57079632675     		φ = 0.41671118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41671118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.875792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73996 KachelY 56580 0.40554617 0.41671118 23.236084 23.875792
    Oben rechts KachelX + 1 73997 KachelY 56580 0.40559411 0.41671118 23.238831 23.875792
    Unten links KachelX 73996 KachelY + 1 56581 0.40554617 0.41666735 23.236084 23.873281
    Unten rechts KachelX + 1 73997 KachelY + 1 56581 0.40559411 0.41666735 23.238831 23.873281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41671118-0.41666735) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dl = 279.240930000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41671118-0.41666735) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dr = 279.240930000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40554617-0.40559411) × cos(0.41671118) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914425050493608 × 6371000     		do = 279.288947721688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40554617-0.40559411) × cos(0.41666735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914442790038665 × 6371000     		du = 279.294365835364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41671118)-sin(0.41666735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914425050493608-0.914442790038665)×R²
    abs(0.40559411-0.40554617)×1.77395450570161e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77395450570161e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77395450570161e-05×40589641000000     		ar = 77989.6619926079m²