Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73994 / 61719
↖ ↑ ↗
← N 10.425690°
E 23.230591°		 ← 300.32 m → N 10.425690°
E 23.233337°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
N 10.422989°
E 23.230591°		 ← 300.32 m →
90 195 m²		 N 10.422989°
E 23.233337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564533233642578 y=0.470882415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564533233642578 × 217)
    floor (0.564533233642578 × 131072)
    floor (73994.5)     		tx = 73994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470882415771484 × 217)
    floor (0.470882415771484 × 131072)
    floor (61719.5)     		ty = 61719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73994 / 61719 ti = "17/73994/61719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73994/61719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73994 ÷ 217
    73994 ÷ 131072     		x = 0.564529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61719 ÷ 217
    61719 ÷ 131072     		y = 0.470878601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564529418945312 × 2 - 1) × π
    0.129058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40545030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470878601074219 × 2 - 1) × π
    0.0582427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.182975145849754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40545030} λ = 0.40545030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182975145849754))-π/2
    2×atan(1.20078456323)-π/2
    2×0.876379468875009-π/2
    1.75275893775002-1.57079632675     		φ = 0.18196261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40545030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18196261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.425690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73994 KachelY 61719 0.40545030 0.18196261 23.230591 10.425690
    Oben rechts KachelX + 1 73995 KachelY 61719 0.40549823 0.18196261 23.233337 10.425690
    Unten links KachelX 73994 KachelY + 1 61720 0.40545030 0.18191547 23.230591 10.422989
    Unten rechts KachelX + 1 73995 KachelY + 1 61720 0.40549823 0.18191547 23.233337 10.422989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18196261-0.18191547) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18196261-0.18191547) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40545030-0.40549823) × cos(0.18196261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.983490432979928 × 6371000     		do = 300.320635100514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40545030-0.40549823) × cos(0.18191547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.983498962347653 × 6371000     		du = 300.323239645557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18196261)-sin(0.18191547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983490432979928-0.983498962347653)×R²
    abs(0.40549823-0.40545030)×8.52936772499646e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.52936772499646e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.52936772499646e-06×40589641000000     		ar = 90195.3691266685m²