Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73994 / 56581
↖ ↑ ↗
← N 23.873281°
E 23.230591°		 ← 279.24 m → N 23.873281°
E 23.233337°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 23.870769°
E 23.230591°		 ← 279.24 m →
77 993 m²		 N 23.870769°
E 23.233337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564533233642578 y=0.431682586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564533233642578 × 217)
    floor (0.564533233642578 × 131072)
    floor (73994.5)     		tx = 73994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431682586669922 × 217)
    floor (0.431682586669922 × 131072)
    floor (56581.5)     		ty = 56581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73994 / 56581 ti = "17/73994/56581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73994/56581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73994 ÷ 217
    73994 ÷ 131072     		x = 0.564529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56581 ÷ 217
    56581 ÷ 131072     		y = 0.431678771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564529418945312 × 2 - 1) × π
    0.129058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40545030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431678771972656 × 2 - 1) × π
    0.136642456054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.429274936097603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40545030} λ = 0.40545030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429274936097603))-π/2
    2×atan(1.53614331759334)-π/2
    2×0.993731836056796-π/2
    1.98746367211359-1.57079632675     		φ = 0.41666735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40545030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41666735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.873281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73994 KachelY 56581 0.40545030 0.41666735 23.230591 23.873281
    Oben rechts KachelX + 1 73995 KachelY 56581 0.40549823 0.41666735 23.233337 23.873281
    Unten links KachelX 73994 KachelY + 1 56582 0.40545030 0.41662351 23.230591 23.870769
    Unten rechts KachelX + 1 73995 KachelY + 1 56582 0.40549823 0.41662351 23.233337 23.870769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41666735-0.41662351) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dl = 279.30464000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41666735-0.41662351) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dr = 279.30464000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40545030-0.40549823) × cos(0.41666735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914442790038665 × 6371000     		do = 279.236106685241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40545030-0.40549823) × cos(0.41662351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914460531873766 × 6371000     		du = 279.241524368024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41666735)-sin(0.41662351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914442790038665-0.914460531873766)×R²
    abs(0.40549823-0.40545030)×1.77418351005043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77418351005043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77418351005043e-05×40589641000000     		ar = 77992.6968571863m²