Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73991 / 90463
↖ ↑ ↗
← S 56.315013°
E 23.222351°		 ← 169.36 m → S 56.315013°
E 23.225097°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
S 56.316537°
E 23.222351°		 ← 169.36 m →
28 690 m²		 S 56.316537°
E 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564510345458984 y=0.690181732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564510345458984 × 217)
    floor (0.564510345458984 × 131072)
    floor (73991.5)     		tx = 73991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690181732177734 × 217)
    floor (0.690181732177734 × 131072)
    floor (90463.5)     		ty = 90463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73991 / 90463 ti = "17/73991/90463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73991/90463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73991 ÷ 217
    73991 ÷ 131072     		x = 0.564506530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90463 ÷ 217
    90463 ÷ 131072     		y = 0.690177917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564506530761719 × 2 - 1) × π
    0.129013061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40530649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690177917480469 × 2 - 1) × π
    -0.380355834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.19492309682914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40530649} λ = 0.40530649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19492309682914))-π/2
    2×atan(0.302727233971185)-π/2
    2×0.293956962116443-π/2
    0.587913924232886-1.57079632675     		φ = -0.98288240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40530649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.222351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98288240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.315013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73991 KachelY 90463 0.40530649 -0.98288240 23.222351 -56.315013
    Oben rechts KachelX + 1 73992 KachelY 90463 0.40535442 -0.98288240 23.225097 -56.315013
    Unten links KachelX 73991 KachelY + 1 90464 0.40530649 -0.98290899 23.222351 -56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 73992 KachelY + 1 90464 0.40535442 -0.98290899 23.225097 -56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98288240--0.98290899) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dl = 169.404889999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98288240--0.98290899) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dr = 169.404889999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40530649-0.40535442) × cos(-0.98288240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554626410526204 × 6371000     		do = 169.361846609803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40530649-0.40535442) × cos(-0.98290899) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 169.355090254649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98288240)-sin(-0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554626410526204-0.554604284804963)×R²
    abs(0.40535442-0.40530649)×2.21257212408288e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21257212408288e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21257212408288e-05×40589641000000     		ar = 28690.1527169646m²