Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73991 / 61691
↖ ↑ ↗
← N 10.501315°
E 23.222351°		 ← 300.25 m → N 10.501315°
E 23.225097°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
N 10.498615°
E 23.222351°		 ← 300.25 m →
90 154 m²		 N 10.498615°
E 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564510345458984 y=0.470668792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564510345458984 × 217)
    floor (0.564510345458984 × 131072)
    floor (73991.5)     		tx = 73991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470668792724609 × 217)
    floor (0.470668792724609 × 131072)
    floor (61691.5)     		ty = 61691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73991 / 61691 ti = "17/73991/61691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73991/61691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73991 ÷ 217
    73991 ÷ 131072     		x = 0.564506530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61691 ÷ 217
    61691 ÷ 131072     		y = 0.470664978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564506530761719 × 2 - 1) × π
    0.129013061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40530649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470664978027344 × 2 - 1) × π
    0.0586700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.184317379039116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40530649} λ = 0.40530649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184317379039116))-π/2
    2×atan(1.20239737826884)-π/2
    2×0.877039425281636-π/2
    1.75407885056327-1.57079632675     		φ = 0.18328252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40530649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.222351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18328252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.501315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73991 KachelY 61691 0.40530649 0.18328252 23.222351 10.501315
    Oben rechts KachelX + 1 73992 KachelY 61691 0.40535442 0.18328252 23.225097 10.501315
    Unten links KachelX 73991 KachelY + 1 61692 0.40530649 0.18323539 23.222351 10.498615
    Unten rechts KachelX + 1 73992 KachelY + 1 61692 0.40535442 0.18323539 23.225097 10.498615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18328252-0.18323539) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18328252-0.18323539) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40530649-0.40535442) × cos(0.18328252) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.983250725265692 × 6371000     		do = 300.24743746594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40530649-0.40535442) × cos(0.18323539) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.98325931399744 × 6371000     		du = 300.250060138502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18328252)-sin(0.18323539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983250725265692-0.98325931399744)×R²
    abs(0.40535442-0.40530649)×8.58873174847119e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.58873174847119e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.58873174847119e-06×40589641000000     		ar = 90154.2596329838m²