Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73990 / 55081
↖ ↑ ↗
← N 27.583763°
E 23.219605°		 ← 270.71 m → N 27.583763°
E 23.222351°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
N 27.581329°
E 23.219605°		 ← 270.72 m →
73 283 m²		 N 27.581329°
E 23.222351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564502716064453 y=0.420238494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564502716064453 × 217)
    floor (0.564502716064453 × 131072)
    floor (73990.5)     		tx = 73990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420238494873047 × 217)
    floor (0.420238494873047 × 131072)
    floor (55081.5)     		ty = 55081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73990 / 55081 ti = "17/73990/55081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73990/55081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73990 ÷ 217
    73990 ÷ 131072     		x = 0.564498901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55081 ÷ 217
    55081 ÷ 131072     		y = 0.420234680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564498901367188 × 2 - 1) × π
    0.128997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40525855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420234680175781 × 2 - 1) × π
    0.159530639648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.501180285527687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40525855} λ = 0.40525855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501180285527687))-π/2
    2×atan(1.65066838140238)-π/2
    2×1.0261119099166-π/2
    2.0522238198332-1.57079632675     		φ = 0.48142749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40525855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.219605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48142749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.583763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73990 KachelY 55081 0.40525855 0.48142749 23.219605 27.583763
    Oben rechts KachelX + 1 73991 KachelY 55081 0.40530649 0.48142749 23.222351 27.583763
    Unten links KachelX 73990 KachelY + 1 55082 0.40525855 0.48138500 23.219605 27.581329
    Unten rechts KachelX + 1 73991 KachelY + 1 55082 0.40530649 0.48138500 23.222351 27.581329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48142749-0.48138500) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48142749-0.48138500) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40525855-0.40530649) × cos(0.48142749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.886334834120955 × 6371000     		do = 270.709472599306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40525855-0.40530649) × cos(0.48138500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.886354508097849 × 6371000     		du = 270.715481538257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48142749)-sin(0.48138500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886334834120955-0.886354508097849)×R²
    abs(0.40530649-0.40525855)×1.96739768933973e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96739768933973e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96739768933973e-05×40589641000000     		ar = 73282.8935538358m²