Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7399 / 10677
↖ ↑ ↗
← S 47.827908°
W 17.424316°		 ← 1 640.28 m → S 47.827908°
W 17.402344°		 →
↑
1 640.09 m
↓
↑
1 640.09 m
↓
S 47.842658°
W 17.424316°		 ← 1 639.81 m →
2 689 812 m²		 S 47.842658°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451629638671875 y=0.651702880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451629638671875 × 214)
    floor (0.451629638671875 × 16384)
    floor (7399.5)     		tx = 7399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651702880859375 × 214)
    floor (0.651702880859375 × 16384)
    floor (10677.5)     		ty = 10677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7399 / 10677 ti = "14/7399/10677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7399/10677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7399 ÷ 214
    7399 ÷ 16384     		x = 0.45159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10677 ÷ 214
    10677 ÷ 16384     		y = 0.65167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.0968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30411169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952985564446716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30411169} λ = -0.30411169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952985564446716))-π/2
    2×atan(0.385588105117175)-π/2
    2×0.368020927459634-π/2
    0.736041854919267-1.57079632675     		φ = -0.83475447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30411169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.424316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83475447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.827908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7399 KachelY 10677 -0.30411169 -0.83475447 -17.424316 -47.827908
    Oben rechts KachelX + 1 7400 KachelY 10677 -0.30372820 -0.83475447 -17.402344 -47.827908
    Unten links KachelX 7399 KachelY + 1 10678 -0.30411169 -0.83501190 -17.424316 -47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 7400 KachelY + 1 10678 -0.30372820 -0.83501190 -17.402344 -47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83475447--0.83501190) × R
    0.000257430000000003 × 6371000     		dl = 1640.08653000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83475447--0.83501190) × R
    0.000257430000000003 × 6371000     		dr = 1640.08653000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30411169--0.30372820) × cos(-0.83475447) × R
    0.000383489999999986 × 0.671359672959571 × 6371000     		do = 1640.27588238433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30411169--0.30372820) × cos(-0.83501190) × R
    0.000383489999999986 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 1639.80968823173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83475447)-sin(-0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671359672959571-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.30372820--0.30411169)×0.000190811775740984×R²
    0.000383489999999986×0.000190811775740984×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190811775740984×40589641000000     		ar = 2689812.09566256m²