Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73989 / 90465
↖ ↑ ↗
← S 56.318060°
E 23.216858°		 ← 169.38 m → S 56.318060°
E 23.219605°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
S 56.319583°
E 23.216858°		 ← 169.38 m →
28 694 m²		 S 56.319583°
E 23.219605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564495086669922 y=0.690196990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564495086669922 × 217)
    floor (0.564495086669922 × 131072)
    floor (73989.5)     		tx = 73989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690196990966797 × 217)
    floor (0.690196990966797 × 131072)
    floor (90465.5)     		ty = 90465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73989 / 90465 ti = "17/73989/90465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73989/90465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73989 ÷ 217
    73989 ÷ 131072     		x = 0.564491271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90465 ÷ 217
    90465 ÷ 131072     		y = 0.690193176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564491271972656 × 2 - 1) × π
    0.128982543945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40521061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690193176269531 × 2 - 1) × π
    -0.380386352539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.19501897062838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40521061} λ = 0.40521061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19501897062838))-π/2
    2×atan(0.302698211752388)-π/2
    2×0.293930376106474-π/2
    0.587860752212947-1.57079632675     		φ = -0.98293557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40521061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.216858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98293557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.318060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73989 KachelY 90465 0.40521061 -0.98293557 23.216858 -56.318060
    Oben rechts KachelX + 1 73990 KachelY 90465 0.40525855 -0.98293557 23.219605 -56.318060
    Unten links KachelX 73989 KachelY + 1 90466 0.40521061 -0.98296216 23.216858 -56.319583
    Unten rechts KachelX + 1 73990 KachelY + 1 90466 0.40525855 -0.98296216 23.219605 -56.319583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98293557--0.98296216) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dl = 169.404890000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98293557--0.98296216) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dr = 169.404890000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40521061-0.40525855) × cos(-0.98293557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.554582167012891 × 6371000     		do = 169.383668750605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40521061-0.40525855) × cos(-0.98296216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.554560040507572 × 6371000     		du = 169.376910746344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98293557)-sin(-0.98296216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554582167012891-0.554560040507572)×R²
    abs(0.40525855-0.40521061)×2.21265053194086e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21265053194086e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21265053194086e-05×40589641000000     		ar = 28693.8493547561m²