Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73988 / 90466
↖ ↑ ↗
← S 56.319583°
E 23.214112°		 ← 169.34 m → S 56.319583°
E 23.216858°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
S 56.321106°
E 23.214112°		 ← 169.33 m →
28 676 m²		 S 56.321106°
E 23.216858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564487457275391 y=0.690204620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564487457275391 × 217)
    floor (0.564487457275391 × 131072)
    floor (73988.5)     		tx = 73988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690204620361328 × 217)
    floor (0.690204620361328 × 131072)
    floor (90466.5)     		ty = 90466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73988 / 90466 ti = "17/73988/90466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73988/90466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73988 ÷ 217
    73988 ÷ 131072     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90466 ÷ 217
    90466 ÷ 131072     		y = 0.690200805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690200805664062 × 2 - 1) × π
    -0.380401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.195066907528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.195066907528))-π/2
    2×atan(0.302683701686383)-π/2
    2×0.293917083896844-π/2
    0.587834167793688-1.57079632675     		φ = -0.98296216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98296216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.319583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73988 KachelY 90466 0.40516268 -0.98296216 23.214112 -56.319583
    Oben rechts KachelX + 1 73989 KachelY 90466 0.40521061 -0.98296216 23.216858 -56.319583
    Unten links KachelX 73988 KachelY + 1 90467 0.40516268 -0.98298874 23.214112 -56.321106
    Unten rechts KachelX + 1 73989 KachelY + 1 90467 0.40521061 -0.98298874 23.216858 -56.321106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98296216--0.98298874) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98296216--0.98298874) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(-0.98296216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.554560040507572 × 6371000     		do = 169.341579726378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(-0.98298874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.554537921931747 × 6371000     		du = 169.334825553164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98296216)-sin(-0.98298874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554560040507572-0.554537921931747)×R²
    abs(0.40521061-0.40516268)×2.21185758244591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21185758244591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21185758244591e-05×40589641000000     		ar = 28675.9310557946m²