Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73988 / 90462
↖ ↑ ↗
← S 56.313490°
E 23.214112°		 ← 169.37 m → S 56.313490°
E 23.216858°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
S 56.315013°
E 23.214112°		 ← 169.36 m →
28 691 m²		 S 56.315013°
E 23.216858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564487457275391 y=0.690174102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564487457275391 × 217)
    floor (0.564487457275391 × 131072)
    floor (73988.5)     		tx = 73988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690174102783203 × 217)
    floor (0.690174102783203 × 131072)
    floor (90462.5)     		ty = 90462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73988 / 90462 ti = "17/73988/90462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73988/90462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73988 ÷ 217
    73988 ÷ 131072     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90462 ÷ 217
    90462 ÷ 131072     		y = 0.690170288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690170288085938 × 2 - 1) × π
    -0.380340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19487515992952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19487515992952))-π/2
    2×atan(0.302741746124043)-π/2
    2×0.293970255916806-π/2
    0.587940511833612-1.57079632675     		φ = -0.98285581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98285581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.313490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73988 KachelY 90462 0.40516268 -0.98285581 23.214112 -56.313490
    Oben rechts KachelX + 1 73989 KachelY 90462 0.40521061 -0.98285581 23.216858 -56.313490
    Unten links KachelX 73988 KachelY + 1 90463 0.40516268 -0.98288240 23.214112 -56.315013
    Unten rechts KachelX + 1 73989 KachelY + 1 90463 0.40521061 -0.98288240 23.216858 -56.315013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98285581--0.98288240) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dl = 169.404890000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98285581--0.98288240) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dr = 169.404890000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(-0.98285581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.554648535855309 × 6371000     		do = 169.368602845408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(-0.98288240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.554626410526204 × 6371000     		du = 169.361846609999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98285581)-sin(-0.98288240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554648535855309-0.554626410526204)×R²
    abs(0.40521061-0.40516268)×2.21253291045054e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21253291045054e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21253291045054e-05×40589641000000     		ar = 28691.2972664831m²