Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73988 / 56997
↖ ↑ ↗
← N 22.824289°
E 23.214112°		 ← 281.45 m → N 22.824289°
E 23.216858°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
N 22.821758°
E 23.214112°		 ← 281.46 m →
79 221 m²		 N 22.821758°
E 23.216858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564487457275391 y=0.434856414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564487457275391 × 217)
    floor (0.564487457275391 × 131072)
    floor (73988.5)     		tx = 73988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434856414794922 × 217)
    floor (0.434856414794922 × 131072)
    floor (56997.5)     		ty = 56997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73988 / 56997 ti = "17/73988/56997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73988/56997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73988 ÷ 217
    73988 ÷ 131072     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56997 ÷ 217
    56997 ÷ 131072     		y = 0.434852600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434852600097656 × 2 - 1) × π
    0.130294799804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.409333185855659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.409333185855659))-π/2
    2×atan(1.50581335262291)-π/2
    2×0.984577658781661-π/2
    1.96915531756332-1.57079632675     		φ = 0.39835899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39835899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.824289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73988 KachelY 56997 0.40516268 0.39835899 23.214112 22.824289
    Oben rechts KachelX + 1 73989 KachelY 56997 0.40521061 0.39835899 23.216858 22.824289
    Unten links KachelX 73988 KachelY + 1 56998 0.40516268 0.39831481 23.214112 22.821758
    Unten rechts KachelX + 1 73989 KachelY + 1 56998 0.40521061 0.39831481 23.216858 22.821758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39835899-0.39831481) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dl = 281.47078000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39835899-0.39831481) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dr = 281.47078000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(0.39835899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921698792941322 × 6371000     		do = 281.451814461284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(0.39831481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921715929744268 × 6371000     		du = 281.457047390219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39835899)-sin(0.39831481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921698792941322-0.921715929744268)×R²
    abs(0.40521061-0.40516268)×1.713680294535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.713680294535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.713680294535e-05×40589641000000     		ar = 79221.1982199312m²