Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73988 / 56924
↖ ↑ ↗
← N 23.008964°
E 23.214112°		 ← 281.07 m → N 23.008964°
E 23.216858°		 →
↑
281.09 m
↓
↑
281.09 m
↓
N 23.006436°
E 23.214112°		 ← 281.07 m →
79 006 m²		 N 23.006436°
E 23.216858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564487457275391 y=0.434299468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564487457275391 × 217)
    floor (0.564487457275391 × 131072)
    floor (73988.5)     		tx = 73988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434299468994141 × 217)
    floor (0.434299468994141 × 131072)
    floor (56924.5)     		ty = 56924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73988 / 56924 ti = "17/73988/56924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73988/56924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73988 ÷ 217
    73988 ÷ 131072     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56924 ÷ 217
    56924 ÷ 131072     		y = 0.434295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434295654296875 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412832579527924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412832579527924))-π/2
    2×atan(1.51109201701631)-π/2
    2×0.986189255381782-π/2
    1.97237851076356-1.57079632675     		φ = 0.40158218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40158218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.008964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73988 KachelY 56924 0.40516268 0.40158218 23.214112 23.008964
    Oben rechts KachelX + 1 73989 KachelY 56924 0.40521061 0.40158218 23.216858 23.008964
    Unten links KachelX 73988 KachelY + 1 56925 0.40516268 0.40153806 23.214112 23.006436
    Unten rechts KachelX + 1 73989 KachelY + 1 56925 0.40521061 0.40153806 23.216858 23.006436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40158218-0.40153806) × R
    4.41200000000364e-05 × 6371000     		dl = 281.088520000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40158218-0.40153806) × R
    4.41200000000364e-05 × 6371000     		dr = 281.088520000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(0.40158218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.920443711504327 × 6371000     		do = 281.068560245868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40521061) × cos(0.40153806) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.920460956019579 × 6371000     		du = 281.073826066051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40158218)-sin(0.40153806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920443711504327-0.920460956019579)×R²
    abs(0.40521061-0.40516268)×1.72445152520906e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72445152520906e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72445152520906e-05×40589641000000     		ar = 79005.8857116695m²