Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73987 / 90461
↖ ↑ ↗
← S 56.311967°
E 23.211365°		 ← 169.41 m → S 56.311967°
E 23.214112°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
S 56.313490°
E 23.211365°		 ← 169.40 m →
28 688 m²		 S 56.313490°
E 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564479827880859 y=0.690166473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564479827880859 × 217)
    floor (0.564479827880859 × 131072)
    floor (73987.5)     		tx = 73987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690166473388672 × 217)
    floor (0.690166473388672 × 131072)
    floor (90461.5)     		ty = 90461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73987 / 90461 ti = "17/73987/90461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73987/90461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73987 ÷ 217
    73987 ÷ 131072     		x = 0.564476013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90461 ÷ 217
    90461 ÷ 131072     		y = 0.690162658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564476013183594 × 2 - 1) × π
    0.128952026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40511474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690162658691406 × 2 - 1) × π
    -0.380325317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.1948272230299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40511474} λ = 0.40511474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1948272230299))-π/2
    2×atan(0.302756258972585)-π/2
    2×0.293983550247437-π/2
    0.587967100494873-1.57079632675     		φ = -0.98282923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40511474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.211365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98282923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.311967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73987 KachelY 90461 0.40511474 -0.98282923 23.211365 -56.311967
    Oben rechts KachelX + 1 73988 KachelY 90461 0.40516268 -0.98282923 23.214112 -56.311967
    Unten links KachelX 73987 KachelY + 1 90462 0.40511474 -0.98285581 23.211365 -56.313490
    Unten rechts KachelX + 1 73988 KachelY + 1 90462 0.40516268 -0.98285581 23.214112 -56.313490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98282923--0.98285581) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98282923--0.98285581) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40511474-0.40516268) × cos(-0.98282923) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554670652471561 × 6371000     		do = 169.410694487494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40511474-0.40516268) × cos(-0.98285581) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554648535855309 × 6371000     		du = 169.403939503609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98282923)-sin(-0.98285581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554670652471561-0.554648535855309)×R²
    abs(0.40516268-0.40511474)×2.21166162525099e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21166162525099e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21166162525099e-05×40589641000000     		ar = 28687.6349623834m²