Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73987 / 56923
↖ ↑ ↗
← N 23.011493°
E 23.211365°		 ← 281.12 m → N 23.011493°
E 23.214112°		 →
↑
281.15 m
↓
↑
281.15 m
↓
N 23.008964°
E 23.211365°		 ← 281.13 m →
79 039 m²		 N 23.008964°
E 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564479827880859 y=0.434291839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564479827880859 × 217)
    floor (0.564479827880859 × 131072)
    floor (73987.5)     		tx = 73987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434291839599609 × 217)
    floor (0.434291839599609 × 131072)
    floor (56923.5)     		ty = 56923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73987 / 56923 ti = "17/73987/56923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73987/56923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73987 ÷ 217
    73987 ÷ 131072     		x = 0.564476013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56923 ÷ 217
    56923 ÷ 131072     		y = 0.434288024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564476013183594 × 2 - 1) × π
    0.128952026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40511474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434288024902344 × 2 - 1) × π
    0.131423950195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.412880516427544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40511474} λ = 0.40511474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412880516427544))-π/2
    2×atan(1.51116445581888)-π/2
    2×0.986211316783953-π/2
    1.97242263356791-1.57079632675     		φ = 0.40162631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40511474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.211365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40162631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.011493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73987 KachelY 56923 0.40511474 0.40162631 23.211365 23.011493
    Oben rechts KachelX + 1 73988 KachelY 56923 0.40516268 0.40162631 23.214112 23.011493
    Unten links KachelX 73987 KachelY + 1 56924 0.40511474 0.40158218 23.211365 23.008964
    Unten rechts KachelX + 1 73988 KachelY + 1 56924 0.40516268 0.40158218 23.214112 23.008964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40162631-0.40158218) × R
    4.41299999999756e-05 × 6371000     		dl = 281.152229999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40162631-0.40158218) × R
    4.41299999999756e-05 × 6371000     		dr = 281.152229999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40511474-0.40516268) × cos(0.40162631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920426461288205 × 6371000     		do = 281.121933054673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40511474-0.40516268) × cos(0.40158218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920443711504327 × 6371000     		du = 281.127201714697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40162631)-sin(0.40158218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920426461288205-0.920443711504327)×R²
    abs(0.40516268-0.40511474)×1.72502161216448e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72502161216448e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72502161216448e-05×40589641000000     		ar = 79038.7990408241m²