Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73986 / 56922
↖ ↑ ↗
← N 23.014020°
E 23.208618°		 ← 281.12 m → N 23.014020°
E 23.211365°		 →
↑
281.09 m
↓
↑
281.09 m
↓
N 23.011493°
E 23.208618°		 ← 281.12 m →
79 019 m²		 N 23.011493°
E 23.211365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564472198486328 y=0.434284210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564472198486328 × 217)
    floor (0.564472198486328 × 131072)
    floor (73986.5)     		tx = 73986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434284210205078 × 217)
    floor (0.434284210205078 × 131072)
    floor (56922.5)     		ty = 56922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73986 / 56922 ti = "17/73986/56922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73986/56922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73986 ÷ 217
    73986 ÷ 131072     		x = 0.564468383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56922 ÷ 217
    56922 ÷ 131072     		y = 0.434280395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564468383789062 × 2 - 1) × π
    0.128936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40506680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434280395507812 × 2 - 1) × π
    0.131439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.412928453327164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40506680} λ = 0.40506680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412928453327164))-π/2
    2×atan(1.51123689809402)-π/2
    2×0.986233377772713-π/2
    1.97246675554543-1.57079632675     		φ = 0.40167043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40506680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.208618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40167043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.014020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73986 KachelY 56922 0.40506680 0.40167043 23.208618 23.014020
    Oben rechts KachelX + 1 73987 KachelY 56922 0.40511474 0.40167043 23.211365 23.014020
    Unten links KachelX 73986 KachelY + 1 56923 0.40506680 0.40162631 23.208618 23.011493
    Unten rechts KachelX + 1 73987 KachelY + 1 56923 0.40511474 0.40162631 23.211365 23.011493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40167043-0.40162631) × R
    4.41200000000364e-05 × 6371000     		dl = 281.088520000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40167043-0.40162631) × R
    4.41200000000364e-05 × 6371000     		dr = 281.088520000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40506680-0.40511474) × cos(0.40167043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920409213189156 × 6371000     		do = 281.116665040931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40506680-0.40511474) × cos(0.40162631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920426461288205 × 6371000     		du = 281.121933054347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40167043)-sin(0.40162631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920409213189156-0.920426461288205)×R²
    abs(0.40511474-0.40506680)×1.72480990489055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72480990489055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72480990489055e-05×40589641000000     		ar = 79019.4077255959m²